Algorithmique et programmation (Python)

🟠 Difficile

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1
La suite est définie par $u_0 = 800$ et $u_{n+1} = 0{,}75\,u_n$ . On cherche le plus petit $n$ tel que $u_n < 100$ .
def seuil():
u = 800
n = 0
while u >= 100:
u = 0.75 * u
n = n + 1
return n
a) Déroule la boucle et donne la valeur renvoyée.
b) Retrouve ce résultat par le calcul, avec le logarithme.
✅ Voir le corrigéoffert
a) On multiplie par 0,75 tant que u reste supérieur ou égal à 100.
Tour 1 : $u = 600$ , $n = 1$ .
Tour 2 : $u = 450$ , $n = 2$ .
Tour 3 : $u = 337{,}5$ , $n = 3$ .
Tour 4 : $u = 253{,}1$ , $n = 4$ .
Tour 5 : $u = 189{,}8$ , $n = 5$ .
Tour 6 : $u = 142{,}4$ , $n = 6$ .
Tour 7 : $u = 106{,}8$ , $n = 7$ .
Tour 8 : $u = 80{,}1$ , $n = 8$ .
La condition devient fausse : la fonction renvoie 8.

b) On cherche le plus petit $n$ tel que $800 \times 0{,}75^{n} < 100$ .
Soit $0{,}75^{n} < 0{,}125$ , puis $n\ln(0{,}75) < \ln(0{,}125)$ .
Le logarithme de 0,75 étant négatif, l'inégalité s'inverse en divisant.
$n > \frac{\ln 0{,}125}{\ln 0{,}75} \approx \frac{-2{,}079}{-0{,}288} \approx 7{,}23$ .
Le plus petit entier convenable est donc 8 ✓.
2
On considère le programme suivant.
s = 0
for k in range(1, 21):
s = s + k * k
print(s)
a) Que calcule ce programme ? Donne la valeur affichée.
b) Modifie-le pour qu'il calcule la somme des cubes des mêmes entiers.
✅ Voir le corrigéoffert
a) La boucle parcourt les entiers de 1 à 20 et cumule leurs carrés.
Le programme calcule donc $1^{2} + 2^{2} + \ldots + 20^{2}$ .
La formule connue donne $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ avec $n = 20$ .
$\frac{20 \times 21 \times 41}{6} = \frac{17\,220}{6} = 2\,870$ .
Le programme affiche 2 870.

b) Il suffit de remplacer « k * k » par « k * k * k » (ou « k ** 3 »).
s = 0
for k in range(1, 21):
s = s + k ** 3
print(s)
La somme des cubes vaut $\left(\frac{20 \times 21}{2}\right)^{2} = 210^{2} = 44\,100$ .
3
On approche une intégrale par la méthode des rectangles.
def aire(n):
s = 0
h = 1 / n
for k in range(n):
s = s + h * (k * h) ** 2
return s
a) Que calcule cette fonction quand n est grand ?
b) Calcule aire(4) à la main.
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4
On simule 10 000 lancers d'une pièce.
import random
def simule(n):
c = 0
for i in range(n):
if random.random() < 0.5:
c = c + 1
return c / n
a) Que renvoie simule(10000) approximativement ? Justifie.
b) Comment modifier le code pour simuler une pièce truquée donnant pile 3 fois sur 5 ?
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5
Écris une fonction dichotomie(a, b, p) qui encadre à la précision p la solution de $f(x) = 0$ sur $[a \,;\, b]$ , pour $f(x) = x^{3} + x - 1$ .
a) Écris la fonction.
b) Explique pourquoi la boucle se termine toujours.
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6
On considère le programme suivant.
u = 2
for i in range(6):
u = u * u
print(u)
a) Déroule le programme et donne la valeur affichée.
b) Exprime le résultat sous forme d'une puissance de 2.
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7
Écris une fonction moyenne_ponderee(V, E) qui calcule la moyenne des valeurs de la liste V pondérées par les effectifs de la liste E.
a) Écris la fonction.
b) Applique-la à V = [8, 12, 16] et E = [3, 5, 2].
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8
On considère le programme suivant.
n = 1
c = 0
while n < 1000:
n = 3 * n
c = c + 1
print(c, n)
a) Déroule le programme et donne les deux valeurs affichées.
b) Retrouve la valeur de c à l'aide du logarithme.
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9
Écris une fonction compte(L, s) qui renvoie le nombre d'éléments de la liste L strictement supérieurs à s.
a) Écris la fonction.
b) Applique-la à L = [12, 7, 19, 4, 15, 9] avec s = 10.
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10
On considère la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n + 2}{u_n + 1}$ .
def terme(n):
u = 1
for i in range(n):
u = (u + 2) / (u + 1)
return u
a) Calcule $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ à la main.
b) Vers quelle valeur la suite semble-t-elle tendre ? Vérifie par le calcul.
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