L'histoire des maths

La tablette Plimpton 322 aligne quinze lignes de nombres. Et ces nombres forment des triangles rectangles à côtés entiers, comme 3-4-5 mais bien plus gros : 119, 120, 169. Mille ans avant Pythagore, donc. Les spécialistes se disputent encore sur ce à quoi elle servait exactement — table pour l'école ? liste construite à partir de nombres réciproques ? On sait ce qu'il y a écrit dessus ; on ne sait pas pourquoi on l'a écrit.

Ahmès écrit lui-même, en tête du rouleau, qu'il recopie un document plus vieux d'environ deux siècles. Il ne se présente pas en inventeur mais en copiste. C'est grâce à cette honnêteté qu'on sait que les maths égyptiennes étaient déjà anciennes quand il les a écrites.

On raconte qu'il a mesuré la hauteur de la grande pyramide grâce à son ombre : au moment où ton ombre fait exactement ta taille, l'ombre de la pyramide fait exactement sa hauteur. C'est joli, mais méfie-toi : cette histoire est racontée par Plutarque et Diogène Laërce, plus de six siècles après sa mort. Thalès n'a laissé aucun écrit. Tout ce qu'on croit savoir de lui, on le tient de gens qui ne l'ont jamais rencontré.

La relation entre les côtés d'un triangle rectangle était connue des Babyloniens, des Chinois et des Indiens bien avant l'école de Crotone. Ce que les Grecs apportent, ce n'est pas le résultat : c'est l'idée qu'il faut le démontrer. Et la maison a fini par prendre feu toute seule — en cherchant la diagonale d'un carré de côté 1, ils sont tombés sur un nombre qui n'est le quotient d'aucune fraction. Pour des gens dont la devise était « tout est nombre », c'était une catastrophe. La légende dit qu'un certain Hippase, qui aurait vendu la mèche, fut jeté à la mer. Cette histoire n'apparaît que très tard, chez des auteurs écrivant des siècles après : personne ne peut la vérifier.

On raconte que le roi Ptolémée, trouvant le livre difficile, aurait demandé s'il n'existait pas un chemin plus court. Euclide aurait répondu qu'il n'y a pas de voie royale vers la géométrie. Là encore, prudence : c'est Proclus qui rapporte l'échange, environ sept cents ans plus tard. La phrase est belle et elle est vraie sur le fond ; rien ne dit qu'elle a été prononcée.

Deux histoires courent sur lui, et elles ne se valent pas. Le fameux « Eurêka ! » crié en sortant du bain nous vient de Vitruve, un architecte romain qui écrit deux siècles après sa mort : invérifiable. En revanche, Archimède était si fier d'avoir démontré que la sphère occupe les deux tiers du cylindre qui l'enferme qu'il a demandé qu'on grave la figure sur sa tombe. Et là, on a un témoin sérieux : Cicéron raconte avoir retrouvé cette tombe abandonnée près de Syracuse, environ cent quarante ans plus tard, en cherchant précisément cette figure.

Ses contemporains le surnommaient « Bêta », la deuxième lettre grecque, parce qu'il était bon partout sans être le premier nulle part : géographie, poésie, mathématiques, astronomie. Le surnom était moqueur. C'est pourtant ce touche-à-tout qui a pesé la planète avec une ombre. On lui doit aussi le crible qui porte son nom, la méthode pour trouver les nombres premiers en rayant les multiples.

Voilà des mathématiques faites sans le moindre usage en vue, par pur goût des formes. Dix-huit siècles plus tard, Kepler découvre que les planètes suivent des ellipses, et Newton s'appuie sur les travaux d'Apollonius pour l'expliquer. Aujourd'hui, ta parabole de seconde et l'antenne satellite sur un toit sont la même courbe. Une idée sans usage peut attendre très longtemps avant de servir.

Le livre fait aussi une chose que l'Europe mettra très longtemps à accepter : il calcule avec des nombres négatifs. Les bâtonnets rouges comptent le positif, les noirs le négatif. En Europe, on parlera encore de « nombres absurdes » au XVIIᵉ siècle.

On ne sait presque rien de sa vie, sauf par une énigme placée sur sa tombe, qui raconte son âge en fractions : son enfance a duré un sixième de sa vie, sa barbe a poussé au douzième suivant… En la résolvant, on trouve 84 ans. Comme énigme, c'est charmant. Comme document historique, c'est mince : rien ne dit que ces chiffres soient exacts.

Sa mort est atroce et, cette fois, elle est documentée : en 415, elle est tuée par une foule, dans un climat de guerre politique et religieuse à Alexandrie. On le sait par Socrate le Scolastique, qui écrit peu après. Attention en revanche aux romans et aux films : on lui a attribué toutes sortes de découvertes qu'aucun texte ne confirme. Sa vie n'a pas besoin d'être enjolivée.

Il écrit aussi que la Terre tourne sur elle-même, et que le mouvement apparent des étoiles n'est qu'un effet de cette rotation. Mille ans avant Copernic. Il compare cela à un bateau qui avance : on croit voir la rive défiler. Il ajoute au sujet de sa valeur de π qu'elle « approche » le rapport — il savait qu'elle n'était pas exacte.

Il pose presque toutes les règles justes — et il se trompe sur une. Il écrit que zéro divisé par zéro fait zéro. C'est faux, et il faudra des siècles pour tirer cette affaire au clair. Ça ne retire rien à ce qu'il a fait : quand on ouvre une porte, on ne voit pas encore toute la pièce.

Deux mots de ton cahier viennent de ce livre. « Algèbre » vient d'al-jabr, l'opération qui consiste à rétablir : faire passer un terme de l'autre côté du signe égal. Et « algorithme » vient tout simplement de son nom, déformé par les copistes latins. Il a donné son nom à une notion sans jamais le savoir.

Une histoire circule à son sujet : le calife al-Hakim l'aurait chargé de réguler les crues du Nil. Devant l'impossibilité de la tâche, il aurait simulé la folie pour échapper à la colère du calife, et serait resté enfermé des années — le temps d'écrire. Ce récit vient de biographes plus tardifs et on ne peut pas le vérifier. Ce qu'on peut vérifier, c'est le Traité d'optique, et il est extraordinaire.

En Occident, on le connaît surtout comme poète : ses quatrains, les Rubaiyat, sont célèbres. En Iran, on le connaît d'abord comme mathématicien et astronome. Deux pays, deux souvenirs de la même personne. Il aura fallu attendre le XVIᵉ siècle en Italie pour qu'on trouve enfin une formule au troisième degré — et cette histoire-là finit mal.

On raconte souvent que Lilavati était sa fille, et qu'il aurait écrit le livre pour la consoler d'un mariage manqué à cause d'une horloge à eau. C'est une belle histoire, mais elle n'apparaît que dans une traduction persane de 1587, quatre siècles après. Le livre, lui, est bien réel, et il a servi de manuel en Inde pendant des centaines d'années.

La fameuse suite 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… sort d'un exercice sur des lapins qui se reproduisent, complètement irréaliste d'ailleurs. Et son surnom ? Il ne l'a jamais porté : il signait Leonardo Pisano. « Fibonacci » a été forgé par un historien en 1838, six siècles après sa mort.

Tartaglia trouve la méthode et la garde jalousement. Cardan la lui arrache en 1539 en jurant de ne jamais la publier. Six ans plus tard, il la publie quand même dans son Ars Magna. Sa défense : il avait découvert entre-temps que Scipione del Ferro avait trouvé la même chose avant Tartaglia, donc le serment ne tenait plus. Tartaglia a hurlé au vol jusqu'à sa mort. Aujourd'hui, la formule porte les deux noms.

Ses voisins le prenaient pour un sorcier : il se promenait avec un coq noir dont il disait qu'il repérait les voleurs. En vérité, il enduisait l'animal de suie et faisait entrer ses domestiques un par un le caresser dans le noir ; celui qui ressortait les mains propres n'avait pas osé toucher le coq. Ce n'était pas de la magie, c'était de la psychologie.

On raconte qu'il aurait eu l'idée en regardant une mouche marcher au plafond, en se disant qu'il pouvait repérer sa position par deux distances aux murs. Aucun texte de Descartes ne contient cette histoire : elle apparaît bien plus tard. Autre surprise : le repère avec deux axes gradués et perpendiculaires, celui que tu traces en classe, n'est pas de lui. Il n'utilise qu'un axe. La forme complète viendra après, chez ses successeurs.

En face d'un problème sur les carrés, il écrit qu'aucun cube ne se décompose en somme de deux cubes, ni aucune puissance supérieure, et il ajoute cette phrase devenue légendaire : il en a trouvé une démonstration merveilleuse, mais la marge est trop étroite pour la contenir. Il ne l'a jamais écrite ailleurs. Pendant 358 ans, les meilleurs mathématiciens ont buté dessus. Andrew Wiles a fini par y arriver en 1994, avec des outils qui n'existaient pas du tout au XVIIᵉ siècle. Ce qui veut probablement dire que la démonstration de Fermat, si elle existait, était fausse.

Une science entière est sortie d'une question sur un jeu d'argent. Trois siècles plus tard, elle sert à fixer le prix d'une assurance, à décider si un médicament fonctionne, à annoncer la météo et à corriger les erreurs de ton téléphone. Il arrive que les grandes idées commencent très petitement.

La pomme existe vraiment, et la source est solide : William Stukeley, ami de Newton, raconte qu'en avril 1726 — Newton avait alors 83 ans — ils prenaient le thé sous des pommiers, et que Newton lui a rappelé qu'une pomme tombée l'avait fait s'interroger : pourquoi tombe-t-elle toujours vers le centre de la Terre, et jamais de côté ? Mais elle n'est jamais tombée sur sa tête. Ça, c'est un ajout des raconteurs.

S'ensuit l'une des plus violentes querelles de l'histoire des sciences. Les partisans des deux camps s'accusent de vol pendant des années. En 1712, la Royal Society nomme une commission pour trancher : elle donne raison à Newton. Petit détail — Newton en était le président, et on sait aujourd'hui qu'il a rédigé lui-même une bonne partie du rapport. Le verdict de l'histoire est plus équilibré : ils ont trouvé chacun de leur côté. Et c'est la notation de Leibniz que le monde entier utilise.

C'est peut-être la première fois qu'on résout un problème en jetant délibérément la géométrie à la poubelle. Ce dessin de points et de traits s'appelle aujourd'hui un graphe. Ton GPS qui cherche le plus court chemin, le réseau des amis d'un réseau social, l'organisation d'Internet : tout cela descend de sept ponts et d'une promenade impossible.

Il perd la vue d'un œil vers trente ans, puis devient presque totalement aveugle vers soixante ans. Et c'est là que ça devient stupéfiant : il a produit environ la moitié de son œuvre après. Il dictait à ses fils et à ses secrétaires, en calculant tout de tête. On raconte qu'il aurait dit y voir moins de distractions. Cette dernière phrase est peut-être arrangée ; le reste est parfaitement documenté.

Une courbe qu'elle étudie s'appelle en anglais « the witch of Agnesi », la sorcière d'Agnesi. Il n'y a jamais eu de sorcière : elle l'appelait la versiera, mot italien venant du latin versoria, un cordage de bateau. Son traducteur anglais a lu avversiera, qui veut dire diablesse. Une erreur de traduction, restée dans les manuels depuis deux siècles et demi. Quant à la chaire de Bologne, elle ne l'a jamais occupée : elle a consacré la fin de sa vie à soigner les pauvres de Milan.

Lagrange préside la commission et défend le système décimal, dix fois dix, contre ceux qui voulaient garder la base douze — plus commode pour les partages en tiers et en quarts. Il a gagné. C'est pour cela que tu comptes en centimètres et pas en douzièmes de pied. Une décision de comité, prise il y a deux siècles, est encore dans ta trousse.

L'anecdote la plus célèbre le montre présentant son livre à Napoléon, qui lui fait remarquer qu'il n'y est jamais question de Dieu. Laplace aurait répondu qu'il n'avait pas eu besoin de cette hypothèse. La scène est rapportée de seconde main, par un témoin qui la tenait d'un autre, alors prends-la comme telle. La phrase résume pourtant bien un tournant : on cherche désormais à expliquer le monde sans faire appel à ce qui le dépasse.

Tu connais sûrement l'histoire de l'écolier à qui l'instituteur demande d'additionner les nombres de 1 à 100 pour avoir la paix, et qui répond 5050 en quelques secondes en appariant 1 avec 100, 2 avec 99. Voilà ce qu'on peut vérifier : la source est une biographie parue en 1856, un an après sa mort, écrite par un collègue de Göttingen. Elle raconte bien un exercice d'addition résolu à toute vitesse par l'enfant. Mais elle ne mentionne ni les nombres de 1 à 100, ni la méthode des paires. Ces détails-là ont été ajoutés par les raconteurs suivants. L'exploit est probablement réel ; sa mise en scène est une construction.

Fourier avait suivi Bonaparte en Égypte et en était revenu convaincu que la chaleur est la clé de tout. Il vivait, dit-on, dans des pièces surchauffées et emmitouflé en toute saison. Son idée, jugée douteuse de son vivant, est aujourd'hui l'une des plus utilisées au monde : chaque fois que tu écoutes un MP3, ouvres une photo JPEG ou passes une IRM, c'est sa décomposition qui travaille.

Le père de Bolyai avait passé sa vie sur ce problème. Quand son fils lui annonce sa découverte, il lui écrit de publier vite. Puis ils apprennent que Gauss y était arrivé avant, sans rien publier par crainte des critiques. Le jeune Bolyai ne s'en est jamais remis et a presque cessé de faire des mathématiques. Quatre-vingts ans plus tard, Einstein a eu besoin exactement de ces géométries courbes pour décrire la gravitation.

La légende dit qu'il a écrit toute sa théorie la nuit précédant le duel qui l'a tué. C'est faux, et il faut le savoir : ses mémoires étaient rédigés et déposés à l'Académie depuis deux à trois ans. Ce qu'il a écrit cette nuit-là — le 29 mai 1832 — c'est une longue lettre à son ami Auguste Chevalier, qui résume ses travaux et demande qu'on les fasse examiner. En marge d'un manuscrit, il note « Je n'ai pas le temps », et cette phrase a suffi à lancer la légende, largement brodée ensuite par un auteur du XXᵉ siècle. La vérité est déjà assez saisissante : il est mort à vingt ans, et ses idées ont mis quinze ans à être comprises.

Le plus fort n'est pas là. Babbage voyait une machine à calculer des nombres. Elle a compris qu'une machine capable de manipuler des symboles pourrait aussi bien traiter des lettres, des sons ou de la musique. Elle l'a écrit noir sur blanc en 1843. Il a fallu attendre cent ans pour que quelqu'un le construise.

Il travaillait sur des espaces courbes sans aucune idée de ce à quoi ça pourrait servir. Soixante ans plus tard, Einstein cherche un langage pour dire que la gravitation courbe l'espace : c'est celui de Riemann, tout prêt, qui l'attendait. En 1859, dans un article de huit pages sur les nombres premiers, il glisse aussi une remarque qu'il n'a pas le temps de démontrer. On l'appelle l'hypothèse de Riemann. Elle résiste encore, et un million de dollars attend celui ou celle qui la tranchera.

Il est mort sans imaginer une seconde à quoi ça servirait. En 1937, un étudiant américain de 21 ans, Claude Shannon, remarque dans son mémoire de master qu'un interrupteur est ouvert ou fermé, comme le vrai et le faux de Boole — et que l'algèbre de Boole décrit donc exactement les circuits électriques. Chaque puce de ton téléphone applique aujourd'hui, des milliards de fois par seconde, les règles d'un professeur irlandais de 1854.

Ses idées ont été violemment rejetées. Son ancien professeur Kronecker les traitait de charlatanisme et lui a barré la route. On lit souvent que ces attaques l'ont rendu fou. C'est un raccourci : Cantor a souffert d'épisodes dépressifs graves et répétés, que les médecins d'aujourd'hui rattacheraient probablement à un trouble bipolaire, et qui ont commencé alors que sa carrière allait bien. Une maladie n'a pas besoin d'un coupable. Hilbert dira plus tard que personne ne nous chassera du paradis que Cantor a créé.

Sa devise était : nous devons savoir, nous saurons. Elle est gravée sur sa tombe. L'ironie de l'histoire est cruelle : c'est en attaquant son deuxième problème que Gödel a démontré, trente ans plus tard, qu'il existe des vérités qu'on ne pourra jamais démontrer. Certains problèmes de la liste sont résolus, d'autres tiennent toujours, et un au moins est réputé mal posé.

Hardy a d'abord cru à un canular : les formules étaient invraisemblables et sans aucune démonstration. Puis il s'est dit que personne n'aurait assez d'imagination pour les inventer. Il l'a fait venir en Angleterre. Une autre histoire les concerne, et Hardy l'a racontée lui-même : rendant visite à Ramanujan malade à Putney, il lui dit que son taxi portait le numéro 1729, un nombre bien terne. Ramanujan répond aussitôt que non, c'est le plus petit nombre qui s'écrit de deux façons comme une somme de deux cubes. Et c'est vrai : 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³.

Voici ce qu'elle a dû traverser. En 1915, la faculté refuse son habilitation parce qu'elle est une femme ; la loi prussienne l'interdisait depuis 1908. Pendant quatre ans, ses cours sont donc annoncés sous le nom de Hilbert, avec la mention « avec le concours de Mme Noether ». Il aura fallu une guerre perdue et la chute de l'Empereur pour qu'elle obtienne enfin son habilitation, en 1919. Chassée par les lois nazies en 1933, elle est partie enseigner aux États-Unis, où elle est morte deux ans plus tard.

Ça n'a pas cassé les mathématiques : on continue parfaitement à en faire. Ça a changé ce qu'on en espérait. Gödel a démoli le rêve de Hilbert avec les outils mêmes que Hilbert avait affûtés.

Voilà l'étrangeté de l'histoire : l'ordinateur a été décrit avant d'exister, et pas par quelqu'un qui voulait en construire un. Il est né d'une question de logique pure. Pendant la guerre, Turing a mis ces idées au service du déchiffrement des messages allemands à Bletchley Park. Condamné en 1952 pour son homosexualité, alors un délit au Royaume-Uni, il est mort deux ans plus tard. Le Royaume-Uni lui a présenté des excuses officielles en 2009, et une grâce royale a été prononcée en 2013.

Il annonce sa démonstration à Cambridge en juin 1993, sous les applaudissements. Puis, à la relecture, un trou apparaît dans un chapitre. Il passe une année entière à essayer de le combler, au bord de l'abandon. C'est en septembre 1994, en reprenant une approche qu'il avait laissée tomber des années plus tôt, qu'il trouve la clé. Il a dit que ce moment était le plus important de sa vie de mathématicien.

Perelman n'a pas publié dans une revue. Il a déposé trois textes sur un site de prépublications, entre 2002 et 2003, puis il a attendu. Il a fallu quatre ans à d'autres équipes pour vérifier ligne à ligne : c'était juste. Il a refusé la médaille Fields en 2006, puis le million de dollars en 2010, et il s'est retiré des mathématiques. Il a expliqué qu'il ne voulait pas être exposé comme un animal dans un zoo, et que si la démonstration est correcte, aucune autre reconnaissance n'est nécessaire.