Suites arithmétiques et géométriques

Q: Combien vaut $1 + q + q^{2} + \dots + q^{n}$ ?

{{1 − $q^{n+1}$/$1 - q$}}, pour toute raison $q \ne 1$.

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Le chapitre en bref

Ce que tu vas savoir faire

Reconnaître une suite arithmétique, déterminer sa raison r et son terme général $u_n = u_0 + n\cdot r$ .
Calculer une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique, dont $1 + 2 + \dots + n$ .
Reconnaître une suite géométrique, déterminer sa raison q et son terme général $u_n = u_0\cdot q^{n}$ .
Calculer une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique (cas $q \ne 1$ ).
Modéliser une évolution en pourcentage et repérer le cas $u_{n+1} = a\cdot u_n + b$ (avec $a \ne 1$ et $b \ne 0$ ), qui n'est en général ni arithmétique ni géométrique.

Le plan du chapitre

1Suites arithmétiques : raison et terme général
2Somme de termes consécutifs (arithmétique)
3Suites géométriques : raison et terme général
4Somme de termes consécutifs (géométrique)
5Reconnaître et modéliser une évolution

À retenir

Arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ et $u_n = u_0 + n\cdot r$ ; croissante si r > 0 ; points alignés.
Géométrique : $u_{n+1} = q\cdot u_n$ et $u_n = u_0\cdot q^{n}$ ; si $u_0$ > 0, croissante si q > 1.
Somme arithmétique : $S = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$ , et $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ .
Somme géométrique $(q \ne 1)$ : premier terme × {{1 − $q^{\text{nb termes}}$ / $1 - q$ }}.
Évolution de t % : $\times (1 + \frac{t}{100})$ ou $\times (1 - \frac{t}{100})$ , donc géométrique ; mais $u_{n+1} = a\cdot u_n + b$ (avec $a \ne 1$ et $b \ne 0$ ) ne l'est en général pas.

Les questions éclair

Comment reconnaître une suite arithmétique ?

La différence $u_{n+1} - u_n$ est constante : elle vaut la raison r.

Terme général d'une suite géométrique ?

$u_n = u_0\cdot q^{n}$ : on multiplie le premier terme par q élevé à la puissance n.

Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique ?

$S = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$ .

Combien vaut $1 + q + q^{2} + \dots + q^{n}$ ?

{{1 − $q^{n+1}$ / $1 - q$ }}, pour toute raison $q \ne 1$ .

Le sais-tu ?

Selon une célèbre légende, l'inventeur du jeu d'échecs demanda pour toute récompense 1 grain de blé sur la 1re case, 2 sur la 2e, 4 sur la 3e… en doublant à chaque case. C'est une suite géométrique de raison 2 ! Le total sur les 64 cases vaut $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{63}$ $= 2^{64}$ $\mathord{}- 1$ , soit plus de 18 milliards de milliards de grains : bien davantage que toute la production mondiale de blé pendant des siècles. La croissance géométrique explose très vite !

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