Algorithmique et programmation (Python)

🟠 Difficile

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1
On exécute le programme :
S = 0
for i in range(1, 6):
S = S + 2 * i
a) Détaille la valeur de S après chaque tour de boucle.
b) Que calcule ce programme, en général, si on remplace 6 par n + 1 ?
✅ Voir le corrigéoffert
a) `range(1, 6)` parcourt 1, 2, 3, 4, 5.
Tour 1 ( $i = 1$ ) : $S = 0 + 2 = 2$ .
Tour 2 ( $i = 2$ ) : $S = 2 + 4 = 6$ .
Tour 3 ( $i = 3$ ) : $S = 6 + 6 = 12$ .
Tour 4 ( $i = 4$ ) : $S = 12 + 8 = 20$ .
Tour 5 ( $i = 5$ ) : $S = 20 + 10 = 30$ .
À la fin, $S = 30$ .

b) On additionne $2 \times 1 + 2 \times 2 + \dots + 2 \times n$ , c'est-à-dire le double de la somme des entiers de 1 à n.
Le programme calcule donc $2 \times \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$ .
Vérification pour $n = 5$ : $5 \times 6 = 30$ ✓.
2
On exécute :
n = 100
etapes = 0
while n > 1:
n = n // 2
etapes = etapes + 1
a) Donne les valeurs successives de n, et la valeur finale de etapes.
b) Que compte la variable etapes ?
✅ Voir le corrigéoffert
a) `//` est la division entière.
$100 \to 50 \to 25 \to 12 \to 6 \to 3 \to 1$ .
La boucle s'arrête quand $n = 1$ .
On a fait 6 passages : $etapes = 6$ .

b) Elle compte le nombre de fois qu'on peut diviser 100 par 2 avant d'atteindre 1.
C'est le nombre d'étapes d'une recherche par dichotomie dans une liste de 100 éléments : 6 essais suffisent.
(On retrouve $2^{6} = 64 < 100 \leqslant 128 = 2^{7}$ .)
3
On considère la fonction :
def mystere(x):
if x < 0:
return -x
else:
return x
a) Que renvoie mystere(-7) ? mystere(3) ? mystere(0) ?
b) Quelle fonction mathématique ce programme calcule-t-il ?
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4
On exécute :
P = 1
for k in range(1, 6):
P = P * k
a) Que vaut P à la fin ?
b) Modifie le programme pour qu'il calcule le produit des entiers PAIRS de 2 à 10.
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5
On considère :
def f(x):
return 3 * x - 5
y = f(f(2))
a) Que vaut y ?
b) Résous l'équation $f(x) = x$ à la main, puis vérifie que ce nombre est un « point fixe » du programme.
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6
Un programme trie une liste :
L = [7, 2, 9, 4]
m = L[0]
for x in L:
if x < m:
m = x
a) Que vaut m à la fin ? Détaille les comparaisons.
b) Comment modifier une seule ligne pour obtenir le maximum ?
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7
On exécute :
u = 5
for i in range(4):
u = 2 * u + 1
a) Donne les valeurs successives de u.
b) Écris la relation qui lie un terme au suivant, et donne le terme obtenu après 5 tours au lieu de 4.
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8
On veut savoir si un entier n est pair.
a) Écris une fonction est_pair(n) qui renvoie True ou False.
b) Écris un programme qui compte combien il y a d'entiers pairs entre 1 et 50.
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9
On exécute le programme :
P = 1
for i in range(1, 6):
P = P * i
a) Détaille la valeur de P après chaque tour de boucle.
b) Que calcule ce programme ?
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10
On exécute :
x = 3
y = 8
if x > y:
m = x
else:
m = y
a) Que vaut m à la fin ?
b) Écris une fonction maxi(x, y) qui renvoie le plus grand des deux nombres.
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