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Échantillonnage

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Le chapitre en bref

Ce que tu vas savoir faire

  • Distinguer une proportion p dans la population et une fréquence f observée sur un échantillon.
  • Comprendre la fluctuation d'échantillonnage : deux échantillons de même taille ne donnent pas la même fréquence.
  • Simuler un échantillon de taille n et observer la distribution des fréquences obtenues.
  • Connaître et utiliser l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % : [p−1n ; p+1n][p - \frac{1}{\sqrt{n}} \,;\, p + \frac{1}{\sqrt{n}}].
  • Prendre une décision à partir d'un échantillon, et estimer une proportion inconnue.

Le plan du chapitre

  1. 1Proportion, échantillon, fréquence
  2. 2La fluctuation d'échantillonnage
  3. 3L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %
  4. 4Pour aller plus loin : prendre une décision
  5. 5Pour aller plus loin : estimer une proportion inconnue

À retenir

  • p est la proportion dans la population (fixe, souvent inconnue) ; f est la fréquence dans un échantillon (elle change à chaque tirage).
  • Fluctuation d'échantillonnage : f varie autour de p, et l'écart se resserre quand n grandit.
  • Intervalle de fluctuation au seuil de 95 % : I=[p−1n ; p+1n]I = [p - \frac{1}{\sqrt{n}} \,;\, p + \frac{1}{\sqrt{n}}], valable pour 0,2≤p≤0,80{,}2 \le p \le 0{,}8 et n≥25n \ge 25.
  • Décision : si f∈If \in I, l'échantillon ne contredit pas l'hypothèse ; si f∉If \notin I, on la rejette au seuil de 95 %.
  • Estimation : quand p est inconnue, [f−1n ; f+1n][f - \frac{1}{\sqrt{n}} \,;\, f + \frac{1}{\sqrt{n}}] la contient dans environ 95 % des cas au moins.
  • L'amplitude 2n\frac{2}{\sqrt{n}} ne dépend que de n : pour être deux fois plus précis, il faut quatre fois plus de monde.

Les questions éclair

Quelle différence entre p et f ?

p est la proportion dans la population (fixe, souvent inconnue) ; f est la fréquence observée sur un échantillon, et elle change à chaque tirage.

Qu'est-ce que la fluctuation d'échantillonnage ?

Le fait que la fréquence varie d'un échantillon à l'autre, alors que la proportion de la population, elle, ne change pas.

Donne l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.

[p−1n ; p+1n][p - \frac{1}{\sqrt{n}} \,;\, p + \frac{1}{\sqrt{n}}], sous les conditions 0,2≤p≤0,80{,}2 \le p \le 0{,}8 et n≥25n \ge 25.

Que conclut-on si la fréquence observée sort de l'intervalle ?

On rejette l'hypothèse au seuil de 95 % : sans en avoir la preuve : jusqu'à un échantillon sur vingt environ peut en sortir normalement.

Que vaut l'amplitude de l'intervalle d'estimation, et de quoi dépend-elle ?

2n\frac{2}{\sqrt{n}} : elle ne dépend que de la taille de l'échantillon, pas de la population.

Le sais-tu ?

En 1936, le magazine Literary Digest envoie dix millions de bulletins pour prédire l'élection présidentielle américaine, en reçoit deux millions, et annonce Landon gagnant. George Gallup, lui, interroge cinquante mille personnes et annonce Roosevelt. Roosevelt l'emporte avec 61 % des voix. Le Digest avait tiré ses adresses dans les annuaires téléphoniques et les listes d'automobilistes : en pleine crise, cela n'échantillonnait que les riches. La leçon tient en une phrase : un grand échantillon mal tiré vaut moins qu'un petit échantillon tiré au hasard.

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