Logique et raisonnement
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Le chapitre en bref
Ce que tu vas savoir faire
- Reconnaître une proposition, écrire sa négation, utiliser « et » et « ou ».
- Distinguer une implication, sa réciproque et sa contraposée.
- Utiliser l'équivalence et le vocabulaire condition nécessaire / condition suffisante.
- Manier les quantificateurs « pour tout » et « il existe », et nier une proposition quantifiée.
- Raisonner par disjonction de cas, par contraposée, par l'absurde, et réfuter par un contre-exemple.
Le plan du chapitre
- 1Propositions, négation et contre-exemple
- 2L'implication et sa réciproque
- 3Équivalence, condition nécessaire, condition suffisante
- 4Pour tout, il existe
- 5Trois façons de démontrer
À retenir
- Une implication P ⟹ Q est à sens unique ; sa réciproque Q ⟹ P peut être fausse.
- Une implication et sa contraposée (non Q ⟹ non P) ont toujours la même valeur de vérité.
- P ⟺ Q signifie P ⟹ Q et Q ⟹ P ; dans P ⟹ Q, P est suffisante et Q est nécessaire.
- La négation de « pour tout x, P(x) » est « il existe x tel que non P(x) » : un seul contre-exemple réfute.
- Trois modes de démonstration : par disjonction de cas, par contraposée, par l'absurde.
Les questions éclair
Contraposée de « Si P alors Q » ?
« Si non Q alors non P » : elle a toujours la même valeur de vérité que l'implication.
Réciproque de « Si P alors Q » ?
« Si Q alors P » : c'est une autre proposition, elle peut être fausse.
Nécessaire ou suffisante ?
Dans P ⟹ Q : P est suffisante pour Q, et Q est nécessaire pour P.
Comment nier « pour tout x, P(x) » ?
« Il existe x tel que non P(x) » : un seul contre-exemple suffit à réfuter.
Le sais-tu ?
Le raisonnement par l'absurde est l'une des plus vieilles armes des mathématiciens. Vers 300 av. J.-C., Euclide s'en sert pour démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers : il suppose qu'il n'y en aurait qu'un nombre fini, les multiplie tous, ajoute 1… et obtient un nombre qu'aucun d'eux ne divise. Contradiction ! Le mathématicien anglais G. H. Hardy comparait ce procédé à un gambit, « bien plus beau que tous les gambits des échecs » : le joueur d'échecs sacrifie un pion ou une pièce, le mathématicien, lui, met en jeu la partie entière.