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Vecteurs dans un repère : coordonnées et colinéarité

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Le chapitre en bref

Ce que tu vas savoir faire

  • Calculer les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} et faire des calculs sur les coordonnées (somme, produit par un réel).
  • Calculer la norme d'un vecteur et les coordonnées du milieu d'un segment.
  • Reconnaître deux vecteurs colinéaires à l'aide du déterminant.
  • Démontrer un alignement de points ou un parallélisme de droites par le calcul.
  • Calculer les coordonnées du barycentre de deux ou trois points pondérés.

Le plan du chapitre

  1. 1Coordonnées d'un vecteur dans un repère
  2. 2Norme et milieu dans un repère orthonormé
  3. 3Colinéarité et déterminant
  4. 4Alignement de points et parallélisme de droites
  5. 5Barycentre de deux ou trois points

À retenir

  • Coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} : « arrivée − départ » → (xB−xAyB−yA)\begin{pmatrix} x_{B} - x_{A} \\ y_{B} - y_{A} \end{pmatrix}.
  • Norme (repère orthonormé) : ∥AB→∥\|\overrightarrow{AB}\| =(xB−xA)2+(yB−yA)2= \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}.
  • Milieu = moyenne des coordonnées : I(xA+xB2 ; yA+yB2)I\left(\dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} \,;\, \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2}\right).
  • Déterminant x⋅y′−y⋅x′=0x\cdot y' - y\cdot x' = 0 ⟺ vecteurs colinéaires ⟺ points alignés ou droites parallèles.
  • Isobarycentre : deux points → le milieu ; trois points → le centre de gravité du triangle.

Les questions éclair

Comment calculer les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} ?

« Arrivée − départ » : (xB−xAyB−yA)\begin{pmatrix} x_{B} - x_{A} \\ y_{B} - y_{A} \end{pmatrix}.

Comment calculer une norme et un milieu ?

Norme : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}, la racine de la somme des carrés des différences de coordonnées. Milieu : M(xA+xB2;yA+yB2)M\left(\dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} ; \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2}\right), la moyenne des coordonnées des deux extrémités.

Comment tester si deux vecteurs sont colinéaires ?

On calcule le déterminant x⋅y′−y⋅x′x\cdot y' - y\cdot x' : s'il vaut 0, ils sont colinéaires.

Comment prouver que trois points sont alignés ?

On montre que det(AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC}) =0= 0 : les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont alors colinéaires.

Où se trouve le centre de gravité d'un triangle ABC ?

C'est l'isobarycentre : la moyenne des trois coordonnées, {{xA+xB+xCx_{A} + x_{B} + x_{C}/3}} et de même pour y.

Le sais-tu ?

Le mot « barycentre » vient du grec barus, « lourd » : c'est littéralement le « centre des poids ». Archimède, au IIIᵉ siècle avant notre ère, cherchait déjà le point d'équilibre d'une plaque ou d'un levier. Aujourd'hui, les ingénieurs calculent le barycentre d'un avion avant chaque décollage : si le centre de gravité sort d'une zone très étroite, l'appareil devient impossible à piloter. La même formule que la tienne, à quelques tonnes près !

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