Décomposition en facteurs premiers
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Le chapitre en bref
Ce que tu vas savoir faire
- Décomposer un entier en produit de facteurs premiers par divisions successives.
- Écrire cette décomposition avec des puissances.
- Savoir que la décomposition d'un nombre est unique.
- Retrouver tous les diviseurs d'un nombre à partir de sa décomposition.
- Rendre une fraction irréductible.
Le plan du chapitre
- 1Décomposer en produit de facteurs premiers
- 2Écrire la décomposition avec des puissances
- 3Une seule décomposition possible
- 4Retrouver tous les diviseurs
- 5Rendre une fraction irréductible
À retenir
- Décomposer : écrire un entier comme un produit de nombres premiers, par divisions successives.
- On regroupe les facteurs identiques en puissances : .
- La décomposition d'un nombre est unique (à l'ordre des facteurs près).
- Tous les diviseurs s'obtiennent en croisant les puissances des facteurs.
- Fraction irréductible : on décompose le haut et le bas, on barre les facteurs communs .
Les questions éclair
Comment décompose-t-on un nombre en facteurs premiers ?
Par divisions successives : on divise par le plus petit premier possible, puis on recommence avec le quotient jusqu'à 1.
Comment sais-je que ma décomposition est terminée ?
Quand tous les facteurs écrits sont premiers. n'est pas fini ; l'est.
Un nombre peut-il avoir deux décompositions ?
Non : elle est unique, à l'ordre des facteurs près. Peu importe par où l'on commence, on arrive au même résultat.
Comment trouver tous les diviseurs de ?
On croise 1 ; 2 ; 4 avec 1 ; 3 dans un tableau ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12.
Comment rendre une fraction irréductible ?
Je décompose le numérateur et le dénominateur, puis je barre les facteurs premiers communs. Ex : .
Le sais-tu ?
Le fait que chaque entier n'ait qu'une seule décomposition porte un nom impressionnant : le théorème fondamental de l'arithmétique. Euclide en avait déjà l'idée il y a plus de 2 300 ans. Aujourd'hui, les sites Internet sécurisés reposent sur une constatation très simple : multiplier deux énormes nombres premiers est facile, mais retrouver ces deux facteurs à partir du produit peut demander des siècles de calcul !