Droites du triangle : hauteurs, médianes et bissectrices
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Le chapitre en bref
Ce que tu vas savoir faire
- Construire une hauteur d'un triangle et connaître l'orthocentre.
- Construire une médiane et connaître le centre de gravité.
- Construire une bissectrice et tracer le cercle inscrit.
- Savoir que ces trois familles de droites sont concourantes.
- Reconnaître une hauteur, une médiane, une bissectrice ou une médiatrice sur une figure.
Le plan du chapitre
- 1Les hauteurs d'un triangle
- 2Les trois hauteurs et l'orthocentre
- 3Les médianes et le centre de gravité
- 4Les bissectrices et le cercle inscrit
- 5Reconnaître laquelle est laquelle
À retenir
- Une hauteur part d'un sommet, perpendiculaire au côté opposé ; les trois se coupent à l'orthocentre.
- Une médiane joint un sommet au milieu du côté opposé ; les trois se coupent au centre de gravité G.
- Une bissectrice partage un angle en deux angles égaux ; les trois se coupent au centre du cercle inscrit.
- Hauteur et médiatrice sont perpendiculaires au côté, mais la hauteur passe par le sommet, la médiatrice par le milieu (confondues seulement si le triangle est isocèle).
- Dans chaque famille, les trois droites sont concourantes : un seul point.
Les questions éclair
C'est quoi une hauteur d'un triangle ?
Une droite qui part d'un sommet et est perpendiculaire au côté opposé.
Où se coupent les trois hauteurs ?
En un seul point : l'orthocentre.
C'est quoi une médiane ?
Le segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé.
Où se coupent les trois médianes ?
Au centre de gravité G, toujours situé à l'intérieur du triangle.
Que déterminent les trois bissectrices ?
Leur point de concours est le centre du cercle inscrit, qui touche les trois côtés.
Le sais-tu ?
Dans un triangle équilatéral, tout se confond ! La hauteur, la médiane, la médiatrice et la bissectrice issues d'un même sommet sont exactement la même droite. Résultat : l'orthocentre, le centre de gravité, le centre du cercle inscrit et celui du cercle circonscrit se retrouvent tous au même point. Un seul point pour quatre !