Congruences dans ℤ
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Le chapitre en bref
Ce que tu vas savoir faire
- Définir la congruence modulo n : ⟺ , et savoir passer à la lecture « même reste ».
- Utiliser la compatibilité des congruences avec l'addition, la multiplication et les puissances.
- Résoudre une congruence du type ax ≡ b [n] par un tableau des restes.
- Calculer des puissances modulo n en repérant un cycle des restes.
- Justifier les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 11 à l'aide des congruences.
- Appliquer les congruences au chiffre des unités, aux dates et aux clés de contrôle.
Le plan du chapitre
- 1Congruences modulo n
- 2Compatibilité avec les opérations
- 3Puissances modulo n : la méthode du cycle
- 4Les critères de divisibilité justifiés
- 5Applications : unités, dates et clés de contrôle
À retenir
- ⟺ ⟺ a et b ont le même reste par n. Le représentant privilégié est le reste, entre 0 et .
- Compatibilité : on additionne, on soustrait, on multiplie et on élève à une puissance : ≡ [n].
- On ne divise jamais une congruence par un facteur : alors que 2 ≢ 5 [6].
- Puissances : on repère le cycle des restes, puis on réduit l'exposant modulo la longueur du cycle (jamais modulo n).
- Critères : tout vient du reste de 10. 3 et des chiffres ; alternée ; 2, 5 → unités ; .
- Chiffre des unités modulo 10 ; jours = modulo 7 ; clé de contrôle = souvent modulo 97.
Les questions éclair
Que signifie a ≡ b [n] ?
Que n divise ; autrement dit a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.
Qu'a-t-on le droit de faire sur une congruence ?
Additionner, soustraire, multiplier, élever à une puissance. Jamais diviser par un facteur.
Comment calculer une grande puissance modulo n ?
On réduit a modulo n, on repère le cycle des restes de longueur p, puis on calcule N modulo p.
Sur quoi reposent les critères de divisibilité par 3, 9 et 11 ?
Sur le reste de 10 : et des chiffres ; .
Comment trouver le chiffre des unités d'un grand nombre ?
C'est son reste modulo 10 : on cherche le cycle des puissances modulo 10.
Le sais-tu ?
La célèbre « preuve par neuf » repose entièrement sur les congruences : comme , tout nombre est congru à la somme de ses chiffres modulo 9. Avant les calculatrices, on vérifiait ainsi une multiplication en comparant les restes modulo 9 des facteurs et du résultat. Attention : la preuve par neuf peut valider un calcul faux (elle ne détecte pas une erreur multiple de 9), mais elle ne rejette jamais un calcul juste !