Les marches aléatoires
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Le chapitre en bref
Ce que tu vas savoir faire
- Modéliser une marche aléatoire sur une droite et calculer la position après une suite de pas.
- Relier la position au nombre de pas à droite, qui suit une loi binomiale.
- Calculer la loi de la position après quelques pas, à l'aide d'un arbre ou du triangle de Pascal.
- Calculer la position moyenne d'une marche, symétrique ou non.
- Simuler une marche aléatoire en Python et estimer une probabilité par la fréquence.
- Étudier un problème d'arrêt : la ruine du joueur.
Le plan du chapitre
- 1Une marche au hasard sur une droite
- 2La position après n pas : retour à la loi binomiale
- 3La position moyenne
- 4Simuler une marche en Python
- 5Marches avec arrêt : la ruine du joueur
À retenir
- Marche aléatoire : à chaque pas, avec probabilité p, avec probabilité , pas indépendants.
- Position après n pas : , où D est le nombre de pas à droite.
- D suit la loi : la loi de la position se lit dans le triangle de Pascal.
- Après n pas, la position a la même parité que n : retour à 0 impossible après un nombre impair de pas.
- Position moyenne : . Nulle pour une marche symétrique : ce qui ne veut pas dire que le pion reste près de 0.
- Simulation : boucle des pas dans une boucle des marches ; remettre la position à 0 à chaque marche.
Les questions éclair
Comment calcule-t-on la position après n pas ?
Position = 2D − n, où D est le nombre de pas à droite.
Quelle loi suit le nombre de pas à droite ?
La loi binomiale B(n ; p) : n épreuves indépendantes, succès = pas à droite.
Peut-on être revenu à 0 après 7 pas ?
Non : après un nombre impair de pas, la position est impaire.
Quelle est la position moyenne d'une marche symétrique ?
0 : ce qui ne veut pas dire que le pion reste près de 0 : les écarts se compensent.
Dans un jeu équitable, quelle chance d'atteindre N en partant de k ?
k/N : la part de l'objectif qu'on possède déjà.
Le sais-tu ?
En 1827, le botaniste Robert Brown observa au microscope des grains de pollen en suspension dans l'eau, agités d'un mouvement incessant et désordonné. Personne ne comprit ce « mouvement brownien » pendant près de quatre-vingts ans. En 1905, Albert Einstein l'expliqua : chaque grain est heurté des milliards de fois par seconde par des molécules d'eau invisibles, et se déplace comme dans une marche aléatoire. En mesurant l'éloignement moyen des grains, Jean Perrin put même en déduire la taille des molécules : la première preuve expérimentale de l'existence des atomes, qui lui valut le prix Nobel.