Équations différentielles

Q: Que sont les solutions de $y' = ay$ ?

Les fonctions x ↦ C·eᵃˣ, avec C réel quelconque. Elles forment une famille de courbes déduites l'une de l'autre par C.

Q: Comment utiliser une condition initiale ?

On écrit d'abord la solution générale, puis on remplace x par $x_0$ et on résout l'équation d'inconnue C.

Q: Comment résoudre $y' = ay + b$ ?

On cherche la solution constante $k = -\frac{b}{a}$ (en posant $y' = 0$), puis on écrit $y = C\cdot e^{ax} + k$.

Q: Que fait la méthode d'Euler ?

Elle approche la courbe par une ligne brisée : $y_{n+1}$ $= y_{n} + h \times f$($x_{n}$ ; $y_{n}$), en suivant la tangente sur chaque pas h.

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Le chapitre en bref

Ce que tu vas savoir faire

Savoir ce qu'est une équation différentielle et ce qu'est une solution (une fonction, pas un nombre).
Résoudre $y' = f$ en cherchant les primitives de f.
Connaître les solutions de $y' = ay$ : les fonctions x ↦ $C\cdot e^{ax}$ , et lire leur allure dans le signe de a.
Déterminer la solution vérifiant une condition initiale $y(x_{0}) = y_{0}$ , et savoir qu'elle est unique.
Résoudre $y' = ay + b$ par la solution constante $-\frac{b}{a}$ , et $y' = ay + f$ à partir d'une solution particulière.
Modéliser une évolution par une équation différentielle et l'approcher par la méthode d'Euler.

Le plan du chapitre

1Une équation différentielle, et le cas $y' = f$
2L'équation $y' = ay$ et ses solutions $C\cdot e^{ax}$
3La solution qui vérifie une condition initiale
4L'équation $y' = ay + b$ (et $y' = ay + f$ )
5Modéliser, et la méthode d'Euler

À retenir

Une solution est une fonction : pour la valider, on la dérive et on compare les deux membres.
$y' = f$ : les solutions sont les primitives de f, soit $y = F + C$ .
$y' = ay$ : solutions x ↦ $C\cdot e^{ax}$ . Si a > 0 elles explosent ; si a < 0 elles tendent vers 0.
Une condition initiale $y(x_{0}) = y_{0}$ donne une unique solution : on écrit le général, puis on résout en C.
$y' = ay + b$ $(a \ne 0)$ : constante $k = -\frac{b}{a}$ , puis $y = C\cdot e^{ax} - \frac{b}{a}$ . Plus généralement, $y = C\cdot e^{ax} + (\text{solution particulière})$ .

Les questions éclair

Que sont les solutions de $y' = ay$ ?

Les fonctions x ↦ C·eᵃˣ, avec C réel quelconque. Elles forment une famille de courbes déduites l'une de l'autre par C.

Comment utiliser une condition initiale ?

On écrit d'abord la solution générale, puis on remplace x par $x_0$ et on résout l'équation d'inconnue C.

Comment résoudre $y' = ay + b$ ?

On cherche la solution constante $k = -\frac{b}{a}$ (en posant $y' = 0$ ), puis on écrit $y = C\cdot e^{ax} + k$ .

Que fait la méthode d'Euler ?

Elle approche la courbe par une ligne brisée : $y_{n+1}$ $= y_{n} + h \times f$ ( $x_{n}$ ; $y_{n}$ ), en suivant la tangente sur chaque pas h.

Le sais-tu ?

Les équations différentielles sont nées de la mécanique : « force $= \text{masse}$ × accélération » en est une, puisque l'accélération est la dérivée de la vitesse. Elles décrivent aussi la désintégration radioactive (N' = −λN, qui donne la demi-vie), la charge d'un condensateur dans un circuit RC ou la propagation d'une épidémie.

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