Le carré et le cube d'un nombre

🟠 Difficile

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1
a) Calcule $2^{5}$ , $5^{2}$ et $3^{4}$ .
b) Range ces trois résultats dans l'ordre croissant.
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a) $2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ .
$5^{2} = 5 \times 5 = 25$ .
$3^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ .

b) $25 < 32 < 81$ , donc $5^{2} < 2^{5} < 3^{4}$ .
Attention : $2^{5}$ et $5^{2}$ n'ont rien à voir — l'ordre des deux nombres compte.
2
a) Calcule $10^{3}$ , $10^{5}$ et $10^{6}$ .
b) Écris 4 500 000 sous la forme d'un nombre multiplié par une puissance de 10.
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a) $10^{3} = 1\,000$ (3 zéros).
$10^{5} = 100\,000$ .
$10^{6} = 1\,000\,000$ .
L'exposant donne directement le nombre de zéros.

b) $4\,500\,000 = 45 \times 100\,000 = 45 \times 10^{5}$ .
On peut aussi écrire $4{,}5 \times 10^{6}$ .
3
Une feuille de papier est pliée en deux plusieurs fois. À chaque pli, le nombre d'épaisseurs double.
a) Combien d'épaisseurs après 6 plis ? Écris le calcul avec une puissance.
b) Et après 10 plis ?
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4
a) Calcule $4^{3} - 3^{3}$ .
b) Est-il vrai que $4^{3} - 3^{3} = (4-3)^{3}$ ? Justifie.
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5
Un cube a une arête de 4 cm.
a) Calcule son volume en utilisant une puissance.
b) Si on double l'arête, par combien le volume est-il multiplié ?
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6
a) Calcule $2^{3} \times 2^{4}$ en développant, puis écris le résultat sous forme d'une seule puissance de 2.
b) Devine la règle générale, et applique-la à $5^{2} \times 5^{3}$ .
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7
a) Calcule $(2 \times 3)^{2}$ et $2^{2} \times 3^{2}$ .
b) Que remarques-tu ? Cette règle marche-t-elle aussi avec une somme, c'est-à-dire $(2 + 3)^{2} = 2^{2} + 3^{2}$ ?
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8
a) Calcule $3^{2} + 4^{2}$ , puis compare le résultat à $5^{2}$ .
b) Que reconnais-tu ?
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9
a) Calcule $1^{100}$ et $0^{5}$ .
b) Calcule $7^{1}$ et $7^{0}$ .
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10
Une bactérie se divise en deux toutes les heures. On part d'une seule bactérie.
a) Combien y en a-t-il au bout de 5 heures ? Écris le calcul avec une puissance.
b) Au bout de combien d'heures dépasse-t-on 1 000 bactéries ?
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