Le carré et le cube d'un nombre

🟠 Difficile

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1
a) Calcule $0{,}5^{2}$ et $0{,}5^{3}$ .
b) Range $0{,}5$ , $0{,}5^{2}$ et $0{,}5^{3}$ dans l'ordre croissant. Que remarques-tu ?
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a) $0{,}5^{2} = 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25$ (un chiffre après la virgule dans chaque facteur, donc deux dans le produit).
$0{,}5^{3} = 0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25 \times 0{,}5 = 0{,}125$ .

b) On compare $0{,}125$ , $0{,}25$ et $0{,}5$ : $0{,}5^{3} < 0{,}5^{2} < 0{,}5$ .
On remarque que le carré et le cube sont PLUS PETITS que le nombre de départ : multiplier par 0,5, c'est prendre la moitié. Pour un nombre plus grand que 1, ce serait l'inverse ( $2^{2} = 4$ et $2^{3} = 8$ ).
2
a) Calcule $3^{2} + 4^{2}$ , puis compare le résultat à $5^{2}$ .
b) Fais de même avec $6^{2} + 8^{2}$ et $10^{2}$ . Que remarques-tu ?
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a) On calcule chaque carré avant d'additionner : $3^{2} = 9$ et $4^{2} = 16$ , donc $3^{2} + 4^{2} = 25$ .
Or $5^{2} = 25$ : les deux résultats sont égaux.

b) $6^{2} = 36$ et $8^{2} = 64$ , donc $6^{2} + 8^{2} = 100$ .
Or $10^{2} = 100$ : là encore, l'égalité est vraie.
On remarque que 6, 8 et 10 sont les doubles de 3, 4 et 5 : la même égalité se retrouve. Attention, elle n'est pas vraie pour n'importe quels nombres : $2^{2} + 3^{2} = 13$ , alors que $4^{2} = 16$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
a) Calcule $4^{3} - 3^{3}$ .
b) Est-il vrai que $4^{3} - 3^{3} = (4 - 3)^{3}$ ? Justifie par un calcul.
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4
a) Calcule $(2 + 3)^{2}$ et $2^{2} + 3^{2}$ .
b) Marc affirme : « $(a + b)^{2}$ et $a^{2} + b^{2}$ , c'est pareil. » Le calcul du a) lui donne-t-il raison ? Explique.
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5
a) Entre quels carrés de nombres entiers consécutifs se trouve 130 ?
b) Un carré a une aire de $130\,\text{cm}^{2}$ . La longueur de son côté peut-elle être un nombre entier de centimètres ? Justifie.
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6
a) Calcule $A = 2 \times 5^{2} - 3^{3}$ et $B = (2 \times 5)^{2} - 3^{3}$ .
b) Pourquoi A et B ne sont-ils pas égaux ?
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7
a) Calcule $2^{3} + 3^{3}$ , puis $(2 + 3)^{3}$ .
b) Avec des petits cubes de $1\,\text{cm}^{3}$ , Léa a construit un cube de 2 cm d'arête et un cube de 3 cm d'arête. Elle les démonte. Peut-elle construire avec tous ces petits cubes un cube de 5 cm d'arête ? Sinon, combien lui en manque-t-il ?
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8
Une caisse a la forme d'un cube de 1,2 m d'arête.
a) Calcule l'aire d'une de ses faces.
b) Calcule son volume.
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9
Tom affirme : « $5^{2} + 5^{2} = 10^{2}$ ».
a) Calcule séparément les deux membres. Tom a-t-il raison ?
b) Quelle erreur a-t-il faite ? Écris une égalité juste qui commence par $5^{2} + 5^{2}$ .
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10
On considère l'expression $x^{2} + 2 \times x$ .
a) Calcule sa valeur pour $x = 3$ , puis pour $x = 0{,}5$ .
b) Parmi les entiers 1, 2, 3, 4 et 5, lequel donne la valeur 24 ?
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