Espace et solides

🟠 Difficile

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1
Un pavé droit mesure 8 cm de long, 5 cm de large et 3 cm de haut.
a) Calcule son volume.
b) Combien de cubes de 1 cm d'arête faudrait-il pour le construire, et combien y en aurait-il sur la couche du bas ?
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a) Volume $= \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur} = 8 \times 5 \times 3 = 120$ cm³.

b) Chaque cube occupe 1 cm³ : il en faut donc 120.
La couche du bas est un rectangle de $8 \times 5 = 40$ cubes.
Vérification : 3 couches de 40 cubes, soit $3 \times 40 = 120$ ✓.
2
Un prisme droit a pour bases deux pentagones.
a) Combien a-t-il de faces, d'arêtes et de sommets ?
b) Vérifie la relation d'Euler : faces + sommets − arêtes = 2.
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a) Faces : les 2 bases pentagonales, plus 5 faces latérales rectangulaires, soit $2 + 5 = 7$ faces.
Sommets : 5 par base, soit $2 \times 5 = 10$ sommets.
Arêtes : 5 par base, plus 5 arêtes latérales, soit $5 + 5 + 5 = 15$ arêtes.

b) $7 + 10 - 15 = 2$ ✓.
La relation est bien vérifiée.
3
Un cube a une arête de 6 cm.
a) Calcule son volume.
b) Calcule l'aire totale de ses six faces.
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4
Un pavé droit a un volume de 240 cm³. Sa base mesure 8 cm sur 5 cm.
a) Calcule sa hauteur.
b) Quelle serait sa hauteur si la base mesurait 10 cm sur 4 cm, pour le même volume ?
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5
On considère un patron de cube.
a) Combien de carrés le composent ?
b) Si chaque carré a 4 cm de côté, quelle est l'aire du patron, et quel est le volume du cube obtenu ?
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6
Une pyramide a pour base un carré.
a) Combien a-t-elle de faces, d'arêtes et de sommets ?
b) Et si sa base était un hexagone ?
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7
Un aquarium en forme de pavé droit mesure 60 cm sur 40 cm sur 35 cm.
a) Calcule son volume en cm³, puis en litres (1 L = 1 000 cm³).
b) On le remplit jusqu'à 5 cm du bord. Quel volume d'eau contient-il ?
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8
Un cylindre de révolution a un rayon de base de 5 cm et une hauteur de 10 cm.
a) Décris ses faces.
b) Quelle est l'aire de sa base ? (On prendra $\pi \approx 3{,}14$ .)
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9
Deux pavés droits ont le même volume de 72 cm³. Le premier mesure 6 cm sur 4 cm sur 3 cm.
a) Vérifie ce volume.
b) Le second a une base carrée de 6 cm de côté. Quelle est sa hauteur ?
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10
Un cube a un volume de 125 cm³.
a) Quelle est la longueur de son arête ?
b) Quelle est la somme des longueurs de toutes ses arêtes ?
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