Chaînes de Markov

🟠 Difficile

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1
Une chaîne a pour matrice $M = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $P_1$ pour $P_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ , puis pour $P_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
b) Que remarques-tu ? Quel est l'état stable ?
Voir le corrigéoffert
a) Pour $P_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ : $P_1 = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ .
Pour $P_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$ : $P_1 = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ également.

b) Le même état est atteint dès la première étape, quel que soit le point de départ.
La mémoire de l'état initial est immédiatement perdue.
L'état stable est $\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ , et il est atteint en une seule étape.
On le vérifie : $0{,}5 \times 0{,}5 + 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5$ .
On peut aussi le voir en calculant $M^{2}$ , qui redonne $M$ elle-même.
En effet, chaque coefficient de $M^{2}$ vaut $0{,}5 \times 0{,}5 + 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}5$ .
Donc $M^{n} = M$ pour tout $n \ge 1$ : la chaîne est stationnaire dès la première étape.
Cela traduit une situation où le prochain état est tiré à pile ou face, sans mémoire.
C'est le cas limite d'une chaîne : l'état précédent n'apporte aucune information.
À l'opposé, une matrice identité conserverait indéfiniment l'état initial.
2
Une chaîne a pour matrice $M = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \\ 0{,}8 & 0{,}2 \end{pmatrix}$ .
a) Détermine l'état stable.
b) Vérifie ton résultat en calculant $PM$ .
Voir le corrigéoffert
a) On cherche $P = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ avec $x + y = 1$ et $P = PM$ .
La première équation donne $x = 0{,}4x + 0{,}8y$ , soit $0{,}6x = 0{,}8y$ .
Donc $y = 0{,}75x$ .
Avec $x + y = 1$ : $1{,}75x = 1$ , donc $x = \frac{4}{7} \approx 0{,}5714$ .
Et $y = \frac{3}{7} \approx 0{,}4286$ .

b) Première coordonnée de $PM$ : $\frac{4}{7} \times 0{,}4 + \frac{3}{7} \times 0{,}8 = \frac{1{,}6 + 2{,}4}{7} = \frac{4}{7}$ .
Seconde : $\frac{4}{7} \times 0{,}6 + \frac{3}{7} \times 0{,}2 = \frac{2{,}4 + 0{,}6}{7} = \frac{3}{7}$ .
On retrouve bien $P$ : l'état est stable.
Et la somme des coordonnées vaut $\frac{4}{7} + \frac{3}{7} = 1$ .
On peut vérifier la convergence en partant de $\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
$P_1 = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ , puis $P_2 = \begin{pmatrix} 0{,}64 & 0{,}36 \end{pmatrix}$ .
Puis $P_3 = \begin{pmatrix} 0{,}544 & 0{,}456 \end{pmatrix}$ : les valeurs oscillent autour de 0,571.
Cette oscillation vient de la somme $0{,}6 + 0{,}8 = 1{,}4$ , supérieure à 1.
La convergence reste assurée, mais elle se fait en alternant au-dessus et en dessous.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Dans une ville, 20 % des utilisateurs du bus passent à la voiture chaque année, et 10 % des automobilistes passent au bus. Au départ, 50 % prennent le bus.
a) Écris la matrice de transition et calcule l'état après un an.
b) Détermine la répartition à long terme.
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4
Un joueur gagne une partie avec probabilité 0,6 s'il a gagné la précédente, et 0,3 s'il l'a perdue. Il a gagné la première partie.
a) Écris la matrice de transition et calcule la probabilité de gagner la 3ᵉ partie.
b) Quelle est la probabilité de gagner à long terme ?
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
5
Une chaîne a pour matrice $M = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}$ et $P_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $P_1$ et $P_2$ .
b) Détermine l'état stable.
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6
Une chaîne a pour matrice $M = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ et $P_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $P_1$ et $P_2$ .
b) Détermine l'état stable et compare-le à $P_2$ .
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7
Une chaîne a pour matrice $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}$ et $P_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $P_1$ , $P_2$ et $P_3$ .
b) Que se passe-t-il à long terme ? Comment appelle-t-on l'état A ?
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8
Une chaîne a pour matrice $M = \begin{pmatrix} 0{,}95 & 0{,}05 \\ 0{,}1 & 0{,}9 \end{pmatrix}$ et $P_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $P_1$ et $P_2$ .
b) Détermine l'état stable et estime la vitesse de convergence.
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9
Chaque mois, 15 % des abonnés d'un service le quittent, et 5 % des non-abonnés s'abonnent. Au départ, 40 % de la population est abonnée.
a) Écris la matrice de transition et calcule l'état après un mois.
b) Détermine l'état stable à long terme.
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10
Une chaîne de Markov à deux états A et B a pour matrice de transition $M = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ , et l'on part de l'état A : $P_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $P_1$ , $P_2$ et $P_3$ .
b) Détermine l'état stable $P$ vérifiant $P = PM$ .
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