Chaînes de Markov

🟠 Difficile

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1
Une chaîne de Markov à deux états A et B a pour matrice de transition $M = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ , et l'on part de l'état A : $P_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $P_1$ , $P_2$ et $P_3$ .
b) Détermine l'état stable $P$ vérifiant $P = PM$ .
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a) $P_1 = P_0 M = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \end{pmatrix}$ .
$P_2 = P_1 M$ : première coordonnée $0{,}9 \times 0{,}9 + 0{,}1 \times 0{,}4 = 0{,}81 + 0{,}04 = 0{,}85$ .
Seconde coordonnée : $0{,}9 \times 0{,}1 + 0{,}1 \times 0{,}6 = 0{,}09 + 0{,}06 = 0{,}15$ .
Donc $P_2 = \begin{pmatrix} 0{,}85 & 0{,}15 \end{pmatrix}$ .
$P_3$ : $0{,}85 \times 0{,}9 + 0{,}15 \times 0{,}4 = 0{,}765 + 0{,}06 = 0{,}825$ .
Et $0{,}85 \times 0{,}1 + 0{,}15 \times 0{,}6 = 0{,}085 + 0{,}09 = 0{,}175$ .
Donc $P_3 = \begin{pmatrix} 0{,}825 & 0{,}175 \end{pmatrix}$ .

b) On cherche $P = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ avec $x + y = 1$ et $P = PM$ .
La première équation donne $x = 0{,}9x + 0{,}4y$ , soit $0{,}1x = 0{,}4y$ , donc $x = 4y$ .
Avec $x + y = 1$ : $5y = 1$ , donc $y = 0{,}2$ et $x = 0{,}8$ .
L'état stable est $\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \end{pmatrix}$ .
Contrôle : $0{,}8 \times 0{,}9 + 0{,}2 \times 0{,}4 = 0{,}72 + 0{,}08 = 0{,}8$ ✓.
Et $0{,}8 \times 0{,}1 + 0{,}2 \times 0{,}6 = 0{,}08 + 0{,}12 = 0{,}2$ ✓.
Les états calculés s'en rapprochent bien : 0,9 puis 0,85 puis 0,825.
Les écarts à 0,8 valent 0,1 puis 0,05 puis 0,025 : ils sont divisés par 2 à chaque étape.
On devine ainsi $P_4 \approx \begin{pmatrix} 0{,}8125 & 0{,}1875 \end{pmatrix}$ .
Cette décroissance géométrique de l'écart est caractéristique des chaînes de Markov.
L'état stable ne dépend pas de $P_0$ : partir de B donnerait la même limite.
2
Une chaîne a pour matrice $M = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}$ et $P_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $P_1$ et $P_2$ .
b) Détermine l'état stable.
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a) $P_1 = P_0 M = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}$ (on lit la seconde ligne de $M$ ).
$P_2$ : première coordonnée $0{,}2 \times 0{,}7 + 0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}14 + 0{,}16 = 0{,}30$ .
Seconde coordonnée : $0{,}2 \times 0{,}3 + 0{,}8 \times 0{,}8 = 0{,}06 + 0{,}64 = 0{,}70$ .
Donc $P_2 = \begin{pmatrix} 0{,}30 & 0{,}70 \end{pmatrix}$ .

b) On résout $x = 0{,}7x + 0{,}2y$ , soit $0{,}3x = 0{,}2y$ , donc $y = 1{,}5x$ .
Avec $x + y = 1$ : $2{,}5x = 1$ , donc $x = 0{,}4$ et $y = 0{,}6$ .
L'état stable est $\begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ .
Contrôle : $0{,}4 \times 0{,}7 + 0{,}6 \times 0{,}2 = 0{,}28 + 0{,}12 = 0{,}4$ ✓.
Et $0{,}4 \times 0{,}3 + 0{,}6 \times 0{,}8 = 0{,}12 + 0{,}48 = 0{,}6$ ✓.
Les états successifs valent 0 ; 0,2 ; 0,30 pour la première coordonnée.
Ils montent bien vers 0,4, en franchissant à chaque étape la moitié du chemin restant.
$P_3$ vaudrait $\begin{pmatrix} 0{,}35 & 0{,}65 \end{pmatrix}$ et $P_4$ environ $\begin{pmatrix} 0{,}375 & 0{,}625 \end{pmatrix}$ .
La convergence est ici assez rapide, car les probabilités de changement d'état sont élevées.
Partir de $P_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ mènerait au même état stable, par en dessus cette fois.
3
Chaque mois, 15 % des abonnés d'un service le quittent, et 5 % des non-abonnés s'abonnent. Au départ, 40 % de la population est abonnée.
a) Écris la matrice de transition et calcule l'état après un mois.
b) Détermine l'état stable à long terme.
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4
Une chaîne a pour matrice $M = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $P_1$ pour $P_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ , puis pour $P_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
b) Que remarques-tu ? Quel est l'état stable ?
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5
Une chaîne a pour matrice $M = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ et $P_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $P_1$ et $P_2$ .
b) Détermine l'état stable et compare-le à $P_2$ .
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6
Un joueur gagne une partie avec probabilité 0,6 s'il a gagné la précédente, et 0,3 s'il l'a perdue. Il a gagné la première partie.
a) Écris la matrice de transition et calcule la probabilité de gagner la 3ᵉ partie.
b) Quelle est la probabilité de gagner à long terme ?
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7
Une chaîne a pour matrice $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}$ et $P_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $P_1$ , $P_2$ et $P_3$ .
b) Que se passe-t-il à long terme ? Comment appelle-t-on l'état A ?
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8
Une chaîne a pour matrice $M = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \\ 0{,}8 & 0{,}2 \end{pmatrix}$ .
a) Détermine l'état stable.
b) Vérifie ton résultat en calculant $PM$ .
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9
Dans une ville, 20 % des utilisateurs du bus passent à la voiture chaque année, et 10 % des automobilistes passent au bus. Au départ, 50 % prennent le bus.
a) Écris la matrice de transition et calcule l'état après un an.
b) Détermine la répartition à long terme.
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10
Une chaîne a pour matrice $M = \begin{pmatrix} 0{,}95 & 0{,}05 \\ 0{,}1 & 0{,}9 \end{pmatrix}$ et $P_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $P_1$ et $P_2$ .
b) Détermine l'état stable et estime la vitesse de convergence.
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