Chaînes de Markov

Q: Quelle est l'équation de l'état stable ?

$P = P\cdot M$, avec P état probabiliste, complétée par la condition $x + y (+ z) = 1$.

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Le chapitre en bref

Ce que tu vas savoir faire

Construire un graphe probabiliste à 2 ou 3 états et écrire sa matrice de transition M.
Reconnaître une matrice stochastique : coefficients dans $[0 \,;\, 1]$ et chaque ligne de somme 1.
Manier l'état probabiliste ligne $P_{n}$ et utiliser $P_{n+1}$ $= P_{n}$ ·M puis $P_{n}$ $= P_{0}$ · $M^{n}$ .
Déterminer l'état stable en résolvant le système $P = P\cdot M$ complété par $x + y (+ z) = 1$ .
Énoncer la convergence de $P_{n}$ vers l'état stable et l'interpréter dans le contexte de l'énoncé.
Modéliser une situation concrète (fidélité à une marque, météo, marche aléatoire sur un graphe) par une chaîne de Markov.

Le plan du chapitre

1Graphe probabiliste et matrice de transition
2État probabiliste et évolution $P_{n} = P_{0}\cdot M^{n}$
3Chercher l'état stable : résoudre $P = P\cdot M$
4Convergence : ce que devient le long terme
5Modéliser une situation par une chaîne de Markov

À retenir

Matrice de transition : coefficients dans $[0 \,;\, 1]$ et chaque ligne de somme 1 : jamais les colonnes.
$P_{n+1}$ $= P_{n}$ ·M et $P_{n}$ $= P_{0}$ · $M^{n}$ (état ligne, produit à droite).
État stable : $P = P\cdot M$ , complété par $x + y (+ z) = 1$ ; on contrôle toujours en recalculant $P\cdot M$ .
Si les coefficients de M (ou d'une puissance) sont > 0, l'état stable est unique et $P_{n}$ y converge, quel que soit $P_{0}$ .
Marche aléatoire : on divise chaque ligne de la matrice d'adjacence par le degré du sommet.

Les questions éclair

Comment reconnaître une matrice de transition ?

Coefficients dans $[0 \,;\, 1]$ et chaque ligne de somme 1 (matrice stochastique).

Comment passe-t-on de $P_{n}$ à $P_{n+1}$ ?

On multiplie l'état ligne à droite par M : $P_{n+1}$ $= P_{n}$ ·M, d'où $P_{n}$ $= P_{0}$ · $M^{n}$ .

Quelle est l'équation de l'état stable ?

$P = P\cdot M$ , avec P état probabiliste, complétée par la condition $x + y (+ z) = 1$ .

Quand $P_{n}$ converge-t-elle vers l'état stable ?

Dès que tous les coefficients de M, ou d'une de ses puissances, sont strictement positifs : la limite ne dépend alors pas de $P_{0}$ .

Le sais-tu ?

L'algorithme PageRank, à l'origine du moteur de recherche Google (Brin & Page, 1998), modélise le Web comme un immense graphe orienté et un « surfeur aléatoire » comme une chaîne de Markov : l'importance d'une page est sa probabilité dans l'état stationnaire d'une gigantesque matrice stochastique. Quant à Andreï Markov, il avait testé son idée en 1913 sur… l'alternance des voyelles et des consonnes dans un roman de Pouchkine.

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