Chaînes de Markov

🟡 Moyen

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1
On considère la matrice de transition
M = $\begin{pmatrix} 0{,}75 & 0{,}25 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$
et l'état initial $P_{0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ (on part de l'état A).
Calculer les états probabilistes $P_{1}$ puis $P_{2}$ .
Voir le corrigéoffert
On utilise $P_{1} = P_{0} \times M$ , où l'état probabiliste est un vecteur ligne.
$P_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \times M = ( 1\times 0{,}75 + 0\times 0{,}5 \,;\, 1\times 0{,}25 + 0\times 0{,}5 ) = \begin{pmatrix} 0{,}75 & 0{,}25 \end{pmatrix}$ .
Ensuite $P_{2} = P_{1} \times M$ :
1re coordonnée : $0{,}75\times 0{,}75 + 0{,}25\times 0{,}5 = 0{,}5625 + 0{,}125 = 0{,}6875$ .
2e coordonnée : $0{,}75\times 0{,}25 + 0{,}25\times 0{,}5 = 0{,}1875 + 0{,}125 = 0{,}3125$ .
Donc $P_{2} = \begin{pmatrix} 0{,}6875 & 0{,}3125 \end{pmatrix}$ .
Vérifions : $0{,}6875 + 0{,}3125 = 1$ , la somme des probabilités vaut bien 1.
Interprétation : en partant à coup sûr de A, la probabilité d'y être retombe à 75 % après une étape, puis 68,75 % après deux étapes, et se rapproche de l'état stable $\frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%$ : la mémoire du point de départ s'estompe.
2
Une chaîne de Markov à deux états A et B a pour matrice de transition
M = $\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$
Déterminer l'état stable $P = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ , c'est-à-dire le vecteur ligne tel que $x + y = 1$ et $P = P \times M$ .
Voir le corrigéoffert
L'état stable vérifie $P = P \times M$ avec $x + y = 1$ .
$P \times M = ( 0{,}8x + 0{,}3y \,;\, 0{,}2x + 0{,}7y )$ .
L'égalité $P = P \times M$ donne, sur la 1re coordonnée : $x = 0{,}8x + 0{,}3y$ .
On remplace y par $1 - x$ : $x = 0{,}8x + 0{,}3(1 - x) = 0{,}8x + 0{,}3 - 0{,}3x = 0{,}5x + 0{,}3$ .
Donc $x - 0{,}5x = 0{,}3$ , soit $0{,}5x = 0{,}3$ , d'où $x = 0{,}6$ .
Alors $y = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$ .
État stable : $P = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}$ .
Vérification : $P \times M = ( 0{,}6\times 0{,}8 + 0{,}4\times 0{,}3 \,;\, 0{,}6\times 0{,}2 + 0{,}4\times 0{,}7 ) = ( 0{,}48+0{,}12 \,;\, 0{,}12+0{,}28 ) = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix} = P$ . C'est correct.
Interprétation : quelle que soit la répartition de départ, la chaîne se stabilise avec 60 % de la population en A et 40 % en B ; les flux entrants et sortants de chaque état se compensent alors exactement $(0{,}6\times 0{,}2 = 0{,}4\times 0{,}3 = 0{,}12)$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Une chaîne de Markov à deux états A et B a pour matrice de transition
M = $\begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$
On note $a_n$ la probabilité d'être dans l'état A à l'étape n.
a) Justifier que $a_{n+1} = 0{,}4 + 0{,}3\,\text{a}_{n}$ .
b) En déduire la limite de la suite ( $a_n$ ).
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4
Une chaîne de Markov à trois états 1, 2, 3 a pour matrice de transition
M = $\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}6 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}4 & 0{,}2 \end{pmatrix}$
Sachant qu'on part de l'état 1, c'est-à-dire $P_{0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ , calculer $P_{1}$ puis $P_{2}$ .
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5
Soit la matrice de transition
M = $\begin{pmatrix} 0{,}55 & 0{,}45 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$
a) Calculer $M^{2}$ .
b) Vérifier que $M^{2}$ est encore une matrice de transition.
c) Que représente le coefficient $(M^{2})_{12}$ ?
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6
Une chaîne de Markov à trois états 1, 2, 3 a pour matrice de transition
M = $\begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}2 & 0{,}1 \\ 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}6 \end{pmatrix}$
On part de l'état probabiliste $P_{0} = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}5 & 0{,}3 \end{pmatrix}$ .
Calculer $P_{1}$ puis $P_{2}$ .
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7
Une chaîne de Markov à deux états A et B a pour matrice de transition
M = $\begin{pmatrix} 0{,}85 & 0{,}15 \\ 0{,}45 & 0{,}55 \end{pmatrix}$
a) Vérifier que $P = \begin{pmatrix} 0{,}75 & 0{,}25 \end{pmatrix}$ est l'état stable de cette chaîne.
b) On part de $P_{0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Calculer $P_{1}$ et $P_{2}$ et commenter.
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8
Deux marques A et B se partagent un marché. Chaque année, 10 % des clients de A passent à B, et 20 % des clients de B passent à A. Au départ, 40 % des clients sont chez A.
a) Écrire la matrice de transition M et l'état initial $P_{0}$ .
b) Déterminer la répartition après 2 ans.
c) Déterminer l'état stable à long terme.
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9
Un opérateur téléphonique constate que, chaque mois, 20 % de ses clients (état A) partent à la concurrence (état B) et 35 % des clients de la concurrence viennent chez lui. Aujourd'hui, il détient 60 % du marché.
a) Écrire la matrice de transition M et l'état initial $P_{0}$ .
b) Calculer la répartition du marché dans un mois, puis dans deux mois.
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10
Un système passe entre trois états 1, 2, 3 selon la matrice de transition
M = $\begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}3 & 0{,}1 \\ 0{,}2 & 0{,}5 & 0{,}3 \\ 0{,}1 & 0{,}4 & 0{,}5 \end{pmatrix}$
a) Calculer le coefficient $(M^{2})_{13}$ et interpréter ce nombre.
b) On part de l'état probabiliste $P_{0} = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 & 0 \end{pmatrix}$ . Calculer $P_{1}$ .
c) En déduire $P_{2} = P_{1} \times M$ .
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