Chaînes de Markov
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On considère la matrice de transition
M =
( 0,75 0,25 )
( 0,5 0,5 )
et l'état initial P₀ = ( 1 0 ) (on part de l'état A).
Calculer les états probabilistes P₁ puis P₂.✅ Voir le corrigéoffert
On utilise P₁ = P₀ × M, où l'état probabiliste est un vecteur ligne.
P₁ = ( 1 0 ) × M = ( 1×0,75 + 0×0,5 ; 1×0,25 + 0×0,5 ) = ( 0,75 0,25 ).
Ensuite P₂ = P₁ × M :
1re coordonnée : 0,75×0,75 + 0,25×0,5 = 0,5625 + 0,125 = 0,6875.
2e coordonnée : 0,75×0,25 + 0,25×0,5 = 0,1875 + 0,125 = 0,3125.
Donc P₂ = ( 0,6875 0,3125 ).
Vérification : 0,6875 + 0,3125 = 1, la somme des probabilités vaut bien 1.
Interprétation : en partant à coup sûr de A, la probabilité d'y être retombe à 75 % après une étape puis se stabilise autour de 69 % après deux étapes : la mémoire du point de départ s'estompe. - 2
Une chaîne de Markov à deux états A et B a pour matrice de transition
M =
( 0,8 0,2 )
( 0,3 0,7 )
Déterminer l'état stable P = ( x y ), c'est-à-dire le vecteur ligne tel que x + y = 1 et P = P × M.✅ Voir le corrigéoffert
L'état stable vérifie P = P × M avec x + y = 1.
P × M = ( 0,8x + 0,3y ; 0,2x + 0,7y ).
L'égalité P = P × M donne, sur la 1re coordonnée : x = 0,8x + 0,3y.
On remplace y par 1 − x : x = 0,8x + 0,3(1 − x) = 0,8x + 0,3 − 0,3x = 0,5x + 0,3.
Donc x − 0,5x = 0,3, soit 0,5x = 0,3, d'où x = 0,6.
Alors y = 1 − 0,6 = 0,4.
État stable : P = ( 0,6 0,4 ).
Vérification : P × M = ( 0,6×0,8 + 0,4×0,3 ; 0,6×0,2 + 0,4×0,7 ) = ( 0,48+0,12 ; 0,12+0,28 ) = ( 0,6 0,4 ) = P. C'est correct.
Interprétation : quelle que soit la répartition de départ, la chaîne se stabilise avec 60 % de la population en A et 40 % en B ; les flux entrants et sortants de chaque état se compensent alors exactement (0,6×0,2 = 0,4×0,3 = 0,12). - 3
Deux marques A et B se partagent un marché. Chaque année, 10 % des clients de A passent à B, et 20 % des clients de B passent à A. Au départ, 40 % des clients sont chez A.
a) Écrire la matrice de transition M et l'état initial P₀.
b) Déterminer la répartition après 2 ans.
c) Déterminer l'état stable à long terme.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
Une chaîne de Markov à trois états 1, 2, 3 a pour matrice de transition
M =
( 0,5 0,3 0,2 )
( 0,1 0,6 0,3 )
( 0,4 0,4 0,2 )
Sachant qu'on part de l'état 1, c'est-à-dire P₀ = ( 1 0 0 ), calculer P₁ puis P₂.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
Une chaîne de Markov à deux états A et B a pour matrice de transition
M =
( 0,7 0,3 )
( 0,4 0,6 )
On note aₙ la probabilité d'être dans l'état A à l'étape n.
a) Justifier que aₙ₊₁ = 0,4 + 0,3 aₙ.
b) En déduire la limite de la suite (aₙ).🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
Un système passe entre trois états 1, 2, 3 selon la matrice de transition
M =
( 0,6 0,3 0,1 )
( 0,2 0,5 0,3 )
( 0,1 0,4 0,5 )
a) Calculer le coefficient (M²)₁₃ et interpréter ce nombre.
b) On part de l'état probabiliste P₀ = ( 0,5 0,5 0 ). Calculer P₁.
c) En déduire P₂ = P₁ × M.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
Une chaîne de Markov à deux états A et B a pour matrice de transition
M =
( 0,85 0,15 )
( 0,45 0,55 )
a) Vérifier que P = ( 0,75 0,25 ) est l'état stable de cette chaîne.
b) On part de P₀ = ( 1 0 ). Calculer P₁ et P₂ et commenter.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
Un opérateur téléphonique constate que, chaque mois, 20 % de ses clients (état A) partent à la concurrence (état B) et 35 % des clients de la concurrence viennent chez lui. Aujourd'hui, il détient 60 % du marché.
a) Écrire la matrice de transition M et l'état initial P₀.
b) Calculer la répartition du marché dans un mois, puis dans deux mois.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
Soit la matrice de transition
M =
( 0,55 0,45 )
( 0,3 0,7 )
a) Calculer M².
b) Vérifier que M² est encore une matrice de transition.
c) Que représente le coefficient (M²)₁₂ ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
Une chaîne de Markov à trois états 1, 2, 3 a pour matrice de transition
M =
( 0,7 0,2 0,1 )
( 0,3 0,4 0,3 )
( 0,2 0,2 0,6 )
On part de l'état probabiliste P₀ = ( 0,2 0,5 0,3 ).
Calculer P₁ puis P₂.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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