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Le chapitre en bref

Ce que tu vas savoir faire

  • Utiliser les notations ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}, dydx(x0)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(x_{0}), dfdx(x0)\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_{0}) et f′(x0)f'(x_{0}).
  • Faire un calcul approché avec l'approximation affine Δy≈f′(x0) Δx\Delta y \approx f'(x_{0})\,\Delta x.
  • Connaître les dérivées de xnx^{n}, 1x\frac{1}{x}, cos⁡\cos et sin⁡\sin.
  • Dériver une somme, un produit, un inverse et un quotient.
  • Dériver f(ax+b)f(ax + b) et les signaux Acos⁡(ωt+φ)A\cos(\omega t + \varphi) et Asin⁡(ωt+φ)A\sin(\omega t + \varphi).
  • Étudier le sens de variation d'une fonction à l'aide du signe de sa dérivée.

Le plan du chapitre

  1. 1Taux de variation et nombre dérivé
  2. 2L'approximation affine
  3. 3Les dérivées usuelles
  4. 4Opérations sur les dérivées
  5. 5Sens de variation

À retenir

  • Taux de variation ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x} : pente de la sécante. Nombre dérivé f′(x0)=dydx(x0)f'(x_{0}) = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(x_{0}) : pente de la tangente.
  • Approximation affine : f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δxf(x_{0} + \Delta x) \approx f(x_{0}) + f'(x_{0})\Delta x, soit Δy≈f′(x0)Δx\Delta y \approx f'(x_{0})\Delta x.
  • (xn)′=nxn−1(x^{n})' = nx^{n-1} pour n≥−1n \ge -1 ; (1x)′=−1x2\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^{2}} ; cos⁡′=−sin⁡\cos' = -\sin ; sin⁡′=cos⁡\sin' = \cos.
  • (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv' ; (1v)′=−v′v2\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^{2}} ; (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.
  • (f(ax+b))′=a f′(ax+b)\big(f(ax + b)\big)' = a\,f'(ax + b).
  • (Acos⁡(ωt+φ))′=−Aωsin⁡(ωt+φ)\big(A\cos(\omega t + \varphi)\big)' = -A\omega\sin(\omega t + \varphi) ; (Asin⁡(ωt+φ))′=Aωcos⁡(ωt+φ)\big(A\sin(\omega t + \varphi)\big)' = A\omega\cos(\omega t + \varphi).

Les questions éclair

Que représente le nombre dérivé f′(x₀) ?

La pente de la tangente au point d'abscisse x₀ : un taux de variation instantané.

Quelle est l'approximation affine de f en x₀ ?

f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + f′(x₀) Δx.

Quelle est la dérivée d'un produit uv ?

u′v + uv′.

Quelle est la dérivée de cos x ?

−sin x.

Quelle est la dérivée de A sin(ωt + φ) ?

Aω cos(ωt + φ).

Le sais-tu ?

Les deux notations de la dérivée viennent de deux inventeurs rivaux. Vers 1666, Isaac Newton écrivait un point au-dessus de la lettre, x˙\dot{x}, pour la « fluxion » d'une grandeur qui s'écoule avec le temps : les physiciens utilisent encore cette notation pour la vitesse. Quelques années plus tard, Gottfried Wilhelm Leibniz inventa dydx\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, rapport de deux « différences infiniment petites ». Une violente querelle de priorité opposa leurs partisans pendant des décennies. La notation f′f', elle, est due à Joseph-Louis Lagrange, un siècle plus tard.

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