Nombres complexes : forme algébrique
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Le chapitre en bref
Ce que tu vas savoir faire
- Connaître la définition de et du nombre tel que .
- Donner la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe écrit sous forme algébrique .
- Calculer une somme, un produit et un quotient de nombres complexes.
- Représenter un nombre complexe par un point ou un vecteur, et lire une affixe.
- Calculer le conjugué et l'interpréter comme une symétrie.
- Calculer le module, l'interpréter comme une distance, et utiliser le module d'un produit et d'un quotient.
Le plan du chapitre
- 1L'ensemble des nombres complexes
- 2Somme et produit
- 3Le plan complexe
- 4Le conjugué et le quotient
- 5Le module
À retenir
- . Tout complexe s'écrit de façon unique : , (sans le i).
- Somme : on ajoute parties réelles et parties imaginaires. Produit : on développe et on remplace par .
- Point d'affixe z ; affixe de : ; milieu : .
- Conjugué : symétrique par rapport à l'axe réel ; .
- Quotient : on multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur.
- Le conjugué d'une somme, d'un produit, d'un quotient est la somme, le produit, le quotient des conjugués.
Les questions éclair
Quelle est la partie imaginaire de 5 − 3i ?
−3 (un réel, sans le i).
Comment écrire un quotient sous forme algébrique ?
On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Que vaut z × z̄ pour z = a + ib ?
a² + b², un réel positif.
Que représente le module de z ?
La distance OM, où M est le point d'affixe z.
Quelle est l'affixe du vecteur ?
− .
Le sais-tu ?
Pendant près de trois siècles, les nombres complexes ont servi sans que personne sache vraiment ce qu'ils étaient. En 1797, un arpenteur norvégien, Caspar Wessel, eut l'idée de les représenter comme des points du plan, mais son mémoire, rédigé en danois, passa inaperçu. C'est un libraire suisse installé à Paris, Jean-Robert Argand, qui publia la même idée en 1806, à compte d'auteur et sans même signer son livre. Aujourd'hui encore, on parle souvent du « plan d'Argand ».