Produit scalaire

À retenir

• Projection de $\vec{u}$ sur un axe dirigé par $\vec{v}$ : $\Vert \vec{u} \Vert \cos\theta$, positive si θ aigu, négative si θ obtus.
• $\vec{u} \cdot \vec{v} = \Vert \vec{u} \Vert \times \Vert \vec{v} \Vert \times \cos\theta$ : c'est un nombre.
• Symétrie et bilinéarité ; $\vec{u} \cdot \vec{u} = \Vert \vec{u} \Vert^{2}$ ; $\Vert \vec{u} + \vec{v} \Vert^{2} = \Vert \vec{u} \Vert^{2} + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \Vert \vec{v} \Vert^{2}$.
• En base orthonormée : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ et $\Vert \vec{u} \Vert = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$.
• Orthogonaux $\iff$ produit scalaire nul. Angle : $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u} \Vert \Vert \vec{v} \Vert}$.
• Al-Kashi : $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos\widehat{A}$, généralisation de Pythagore.