Épreuves répétées et schéma de Bernoulli
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Le chapitre en bref
Ce que tu vas savoir faire
- Reconnaître deux épreuves indépendantes : le résultat de la première ne change rien à la seconde.
- Représenter par un arbre une expérience à deux épreuves indépendantes et calculer les probabilités des chemins.
- Reconnaître une épreuve de Bernoulli : deux issues seulement, un succès de probabilité p et un échec de probabilité .
- Représenter la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, avec .
- Calculer la probabilité d'un événement en additionnant les probabilités des chemins qui le réalisent.
Le plan du chapitre
- 1Deux épreuves indépendantes
- 2Multiplier le long, additionner entre
- 3L'épreuve de Bernoulli et sa répétition
- 4Les événements qu'on rencontre toujours
À retenir
- Indépendance : le résultat de la première épreuve ne change rien aux probabilités de la seconde (tirage avec remise).
- Règle 1 : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses arêtes.
- Règle 2 : la probabilité d'un événement est la somme des chemins qui le réalisent.
- Épreuve de Bernoulli : deux issues, succès de probabilité p et échec de probabilité .
- Avec n épreuves, l'arbre a chemins : 4 pour , 8 pour , 16 pour .
- : l'astuce qui évite d'additionner quinze chemins.
Les questions éclair
Quelles sont les deux règles de l'arbre ?
On MULTIPLIE le long d'un chemin ; on ADDITIONNE entre les chemins.
Qu'est-ce qu'une épreuve de Bernoulli ?
Une expérience à DEUX issues : succès (probabilité p) et échec (probabilité 1 − p).
Combien de chemins dans un arbre à n épreuves ?
2ⁿ : 4 pour n = 2, 8 pour n = 3, 16 pour n = 4.
Comment calcule-t-on « au moins un succès » ?
1 − P(aucun succès). C'est bien plus rapide que d'additionner tous les autres chemins.
Combien de chemins donnent exactement un succès sur trois épreuves ?
Trois : SEE, ESE et EES. Ils ont tous la même probabilité.
Le sais-tu ?
Jacques Bernoulli, mathématicien bâlois du XVIIᵉ siècle, appartenait à une famille qui produisit huit mathématiciens de premier plan en trois générations : un cas unique dans l'histoire des sciences. Son livre Ars Conjectandi, publié après sa mort en 1713, fonde le calcul des probabilités moderne. Il y démontre que, en répétant une épreuve un très grand nombre de fois, la fréquence observée des succès finit par s'approcher de p : c'est la loi des grands nombres, que tu retrouveras au chapitre suivant.
Ce chapitre fait partie du programme qui tombe à l'épreuve anticipée de 1ʳᵉ. Réviser l'épreuve anticipée de maths : les sujets des années précédentes, les chapitres à revoir, et un plan de révision.