Variables aléatoires et échantillonnage
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Le chapitre en bref
Ce que tu vas savoir faire
- Reconnaître une variable aléatoire et dresser sa loi de probabilité.
- Interpréter et calculer et en situation.
- Calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète et l'interpréter concrètement.
- Reconnaître une situation modélisée par une loi de Bernoulli et savoir que son espérance vaut p.
- Simuler N échantillons de taille n d'une loi de Bernoulli et représenter les fréquences observées.
- Comprendre la fluctuation d'échantillonnage : deux échantillons du même modèle ne donnent pas le même résultat.
Le plan du chapitre
- 1Une variable aléatoire, et sa loi
- 2Les écritures {X = a} et {X ⩽ a}
- 3L'espérance : la moyenne sur le long terme
- 4La loi de Bernoulli, et l'échantillonnage
À retenir
- Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue. Sa loi est le tableau valeur → probabilité.
- La somme des probabilités d'une loi vaut 1 : c'est la vérification à faire systématiquement.
- : on additionne les probabilités des valeurs inférieures ou égales à a.
- « Moins de 3 » exclut 3 ; « au plus 3 » l'inclut.
- : la moyenne sur le long terme. Elle n'est pas une valeur prise par X, et elle s'interprète avec son unité.
- Loi de Bernoulli : X vaut 1 (probabilité p) ou 0 (probabilité ), et .
Les questions éclair
Que vérifie-t-on toujours sur une loi de probabilité ?
Que la somme de toutes les probabilités vaut 1.
Comment calcule-t-on une espérance ?
On multiplie chaque valeur par sa probabilité, et on additionne le tout.
Que signifie E(X) = −0,60 € pour un jeu ?
Que sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne 60 centimes par partie.
Quelle est l'espérance d'une loi de Bernoulli de paramètre p ?
Elle vaut p : c'est la proportion moyenne de succès sur le long terme.
Pourquoi deux sondages donnent-ils des résultats différents ?
À cause de la fluctuation d'échantillonnage : les fréquences observées se dispersent autour de p.
« Moins de 3 » et « au plus 3 », est-ce pareil ?
Non : « moins de 3 » exclut 3 (donc X ⩽ 2), « au plus 3 » l'inclut (X ⩽ 3).
Le sais-tu ?
En 1936, le magazine américain Literary Digest interrogea deux millions de personnes pour prédire l'élection présidentielle, et annonça la victoire du candidat Landon. Au même moment, George Gallup n'interrogea que cinquante mille personnes, et prédit correctement la victoire de Roosevelt. Le Digest avait tiré ses adresses dans les annuaires téléphoniques et les registres automobiles : en pleine crise économique, cela ne touchait que les plus aisés. La leçon fonde la statistique moderne : la représentativité d'un échantillon compte infiniment plus que sa taille.