La fonction dérivée et les variations

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Le chapitre en bref

Ce que tu vas savoir faire

Connaître les dérivées de référence : $x \mapsto x^{2}$ et $x \mapsto x^{3}$ .
Utiliser la dérivée d'une somme et la dérivée de $kf$ (k réel).
Calculer la dérivée d'une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3.
Relier le signe de la dérivée au sens de variation de la fonction.
Dresser un tableau de variations complet et déterminer les extremums.
Résoudre un problème d'optimisation en utilisant la dérivée.

Le plan du chapitre

1La fonction dérivée
2Dériver un polynôme
3Le signe de f' donne les variations de f
4Une étude complète, de bout en bout
5Optimiser

À retenir

Dérivées de référence : $(x^{2})' = 2x$ et $(x^{3})' = 3x^{2}$ . L'exposant descend et perd un.
$(x)' = 1$ et la dérivée d'une constante est nulle : elle disparaît toujours.
On dérive terme par terme, et un coefficient se conserve : $(kf)' = k f'$ .
$f' \ge 0$ → f croissante ; $f' \le 0$ → f décroissante. C'est la propriété centrale.
Extremum : $f'$ s'annule en changeant de signe. De $+$ à $-$ → maximum ; de $-$ à $+$ → minimum.
$f'(x_{0}) = 0$ ne suffit pas : $x \mapsto x^{3}$ a une dérivée nulle en 0 et pourtant aucun extremum.

Les questions éclair

Que vaut la dérivée de $x^{3}$  ?

3x². L'exposant descend devant et perd un.

Que devient une constante quand on dérive ?

Elle disparaît : sa dérivée est nulle. Une constante déplace la courbe, pas sa pente.

Quel lien entre le signe de f' et les variations de f ?

f' positive → f croissante ; f' négative → f décroissante.

Quand y a-t-il un extremum ?

Quand f' s'annule EN CHANGEANT de signe. De + à − : maximum. De − à + : minimum.

$f'(0) = 0$ suffit-il pour un extremum ?

Non. Pour f(x) = x³, f'(0) = 0 mais f' reste positive des deux côtés : pas d'extremum.

Le sais-tu ?

La notation $f'$ vient de Lagrange, à la fin du XVIIIᵉ siècle. Mais Leibniz, un siècle plus tôt, écrivait $\frac{dy}{dx}$  : une notation qui rappelle que la dérivée est un quotient de petites variations, celui-là même que tu as calculé au chapitre 6 avec $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ . Les deux notations coexistent encore aujourd'hui : les mathématiciens préfèrent souvent $f'$ , les physiciens et les ingénieurs $\frac{dy}{dx}$ , parce qu'elle garde visibles les unités : des mètres par seconde, des euros par pièce.

Ce chapitre fait partie du programme qui tombe à l'épreuve anticipée de 1ʳᵉ. Réviser l'épreuve anticipée de maths : les sujets des années précédentes, les chapitres à revoir, et un plan de révision.

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