Le nombre dérivé et la tangente
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Le chapitre en bref
Ce que tu vas savoir faire
- Calculer le taux de variation d'une fonction en un point, entre a et .
- Comprendre la tangente comme position limite des sécantes quand le second point se rapproche.
- Interpréter géométriquement le nombre dérivé comme coefficient directeur de la tangente.
- Construire la tangente à une courbe en un point, et lire un nombre dérivé sur un graphique.
- Déterminer l'équation réduite de la tangente à une courbe en un point.
- Interpréter un nombre dérivé concrètement : vitesse instantanée, coût marginal.
Le plan du chapitre
- 1Du taux moyen au taux en un point
- 2La tangente : là où tendent les sécantes
- 3Ce que le nombre dérivé raconte
- 4Lire et construire une tangente
- 5L'équation réduite de la tangente
À retenir
- Taux de variation en a : . On développe, on simplifie, et le h du dénominateur disparaît.
- La tangente en A est la position limite des sécantes passant par A ; ce n'est pas « une droite qui touche sans traverser ».
- est la valeur vers laquelle tend quand h se rapproche de 0 : c'est le coefficient directeur de la tangente.
- Lire : on avance de 1 à partir du point de contact et on regarde de combien la tangente monte.
- Équation de la tangente : . Trois étapes : , puis , puis on remplace.
- est une hauteur, est une pente : ne jamais les confondre.
Les questions éclair
Qu'est-ce qu'une tangente, exactement ?
La position LIMITE des sécantes passant par le point, quand le second point s'en rapproche.
Que représente géométriquement f'(a) ?
Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a.
Quelle est l'équation réduite de la tangente ?
y = f'(a)(x − a) + f(a). Pente d'abord, point de contact ensuite.
Que signifie f'(a) = 0 ?
Que la tangente est HORIZONTALE en ce point.
Quelle est la différence entre vitesse moyenne et vitesse instantanée ?
La moyenne est un taux de variation entre deux instants ; l'instantanée est le nombre dérivé en un instant.
Le sais-tu ?
La question « quelle est la vitesse exacte à un instant donné ? » a résisté aux mathématiciens pendant deux mille ans, parce qu'elle semble absurde : en un instant, aucune distance n'est parcourue et aucune durée ne s'écoule, donc la vitesse vaudrait « 0 divisé par 0 ». Newton et Leibniz, indépendamment vers 1670, ont trouvé la sortie : ne jamais poser , mais regarder vers quoi tend le calcul quand h devient minuscule. C'est exactement ce que tu viens de faire.
Ce chapitre fait partie du programme qui tombe à l'épreuve anticipée de 1ʳᵉ. Réviser l'épreuve anticipée de maths : les sujets des années précédentes, les chapitres à revoir, et un plan de révision.