Les fonctions polynômes de degré 2

Q: Combien de solutions a $x^{2} = c$ ?

Deux si c > 0 ($\sqrt{c}$ et −$\sqrt{c}$), une si c = 0, aucune si c < 0.

Q: Quelle est la racine du facteur $(x + 5)$ ?

−5 : c'est la valeur qui annule la parenthèse.

Q: Comment factoriser en connaissant une racine ?

On écrit a(x − x₁)(x − x₂), on identifie le terme constant pour trouver x₂, puis on vérifie en développant.

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Le chapitre en bref

Ce que tu vas savoir faire

Associer une parabole à une expression de la forme $ax^{2}$ , $ax^{2} + b$ ou $a(x - x_{1})(x - x_{2})$ .
Déterminer les éléments caractéristiques de $x \mapsto a(x - x_{1})(x - x_{2})$  : racines, signe, axe de symétrie, extremum, allure de la courbe.
Vérifier qu'une valeur conjecturée est racine d'un polynôme de degré 2.
Factoriser, dans des cas simples, une expression du second degré connaissant l'une de ses racines.
Utiliser la forme factorisée pour trouver les racines et étudier le signe.
Résoudre une équation de la forme $x^{2} = c$ , avec c positif.

Le plan du chapitre

1La parabole de base : x ↦ ax²
2Résoudre x² = c
3La forme factorisée : tout se lit dessus
4Vérifier une racine, puis factoriser
5Modéliser avec une parabole

À retenir

$f(x) = ax^{2}$  : sommet à l'origine, axe = axe des ordonnées, ∪ si $a > 0$ , ∩ si $a < 0$ . Plus $|a|$ est grand, plus c'est resserré.
$f(x) = ax^{2} + b$  : la même parabole montée ou descendue de b ; sommet en $(0 \,;\, b)$ .
$f(x) = a(x - x_{1})(x - x_{2})$  : racines $x_{1}$ et $x_{2}$ , axe de symétrie en $x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ , extremum sur cet axe.
Signe : du signe contraire de a entre les racines, du signe de a à l'extérieur.
$x^{2} = c$ avec $c > 0$ a deux solutions : $\sqrt{c}$ et $-\sqrt{c}$ . Aucune si c est négatif.
Dans $(x + 3)$ , la racine est $-3$  : le signe s'inverse au passage de la parenthèse.

Les questions éclair

Où est l'axe de symétrie d'une parabole factorisée ?

Au MILIEU des deux racines : x = (x₁ + x₂) ÷ 2. Et l'extremum est dessus.

Quel est le signe de $a(x - x_{1})(x - x_{2})$ entre les racines ?

Le signe CONTRAIRE de a. À l'extérieur, c'est le signe de a.

Combien de solutions a $x^{2} = c$  ?

Deux si c > 0 ( $\sqrt{c}$ et − $\sqrt{c}$ ), une si c = 0, aucune si c < 0.

Quelle est la racine du facteur $(x + 5)$  ?

−5 : c'est la valeur qui annule la parenthèse.

Comment factoriser en connaissant une racine ?

On écrit a(x − x₁)(x − x₂), on identifie le terme constant pour trouver x₂, puis on vérifie en développant.

Le sais-tu ?

Un jet d'eau, un ballon lancé, un saut à ski : toutes ces trajectoires sont des paraboles, et c'est Galilée qui l'a compris le premier, vers 1600, en décomposant le mouvement en deux parties indépendantes : une horizontale régulière, une verticale accélérée. C'est aussi pour cela que les antennes paraboliques portent ce nom : la forme de la parabole concentre en un seul point tous les signaux qui arrivent parallèlement à son axe.

Ce chapitre fait partie du programme qui tombe à l'épreuve anticipée de 1ʳᵉ. Réviser l'épreuve anticipée de maths : les sujets des années précédentes, les chapitres à revoir, et un plan de révision.

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