Les fonctions polynômes de degré 3
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Le chapitre en bref
Ce que tu vas savoir faire
- Associer une courbe aux fonctions et .
- Trouver les racines et étudier le signe d'un polynôme de degré 3 donné sous la forme .
- Vérifier qu'une valeur conjecturée est racine d'un polynôme de degré 3.
- Résoudre une équation de la forme , avec c positif.
- Connaître la racine cubique d'un nombre réel positif et ses notations et .
Le plan du chapitre
- 1La courbe en S : x ↦ ax³
- 2L'équation x³ = c et la racine cubique
- 3Racines et signe d'un produit de trois facteurs
- 4Vérifier une racine, factoriser un peu
- 5Modéliser avec un degré 3
À retenir
- : courbe en S passant par l'origine, croissante partout si . Ni maximum ni minimum.
- : la même courbe, déplacée verticalement de b.
- Le cube garde le signe (), alors que le carré l'efface.
- avec : une seule solution, . (Contre deux pour .)
- : trois racines lues sur les parenthèses, et le signe alterne à chacune.
- Pour trouver un signe : compter les facteurs négatifs. Nombre pair → produit positif ; impair → négatif.
Les questions éclair
Combien a-t-elle de solutions pour c > 0 ?
UNE seule : la racine cubique de c. Contre deux pour x² = c.
Que vaut ?
−64 : le cube garde le signe, contrairement au carré.
Comment trouve-t-on vite le signe d'un produit de trois facteurs ?
On compte les facteurs négatifs : pair → positif, impair → négatif.
La fonction cube a-t-elle un maximum ?
Non : elle est croissante sur ℝ tout entier, elle ne fait jamais demi-tour.
Si je double l'arête d'un cube, que devient son volume ?
Il est multiplié par 8, car 2³ = 8.
Le sais-tu ?
En 1535, deux mathématiciens italiens, Tartaglia et Fior, s'affrontèrent dans un duel public de résolution d'équations du troisième degré : une pratique courante à l'époque, où la réputation et le poste universitaire se jouaient sur scène. Tartaglia, qui avait trouvé une méthode générale, remporta le duel en résolvant les trente problèmes en deux heures. Il confia son secret à Cardan sous serment ; Cardan le publia en 1545, en citant Tartaglia. La formule porte pourtant aujourd'hui le nom de Cardan, et Tartaglia passa des années à dénoncer ce qu'il tenait pour une trahison.
Ce chapitre fait partie du programme qui tombe à l'épreuve anticipée de 1ʳᵉ. Réviser l'épreuve anticipée de maths : les sujets des années précédentes, les chapitres à revoir, et un plan de révision.