Séries à deux variables quantitatives et ajustement affine
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Le chapitre en bref
Ce que tu vas savoir faire
- Représenter le nuage de points d'une série statistique à deux variables quantitatives.
- Calculer les coordonnées du point moyen .
- Déterminer une droite d'ajustement : au jugé, par la méthode de Mayer, ou à la calculatrice (moindres carrés).
- Utiliser un ajustement affine pour interpoler ou extrapoler une valeur inconnue.
- Juger de la pertinence d'un ajustement affine et des limites d'une extrapolation.
Le plan du chapitre
- 1Le nuage de points
- 2Le point moyen
- 3Trois façons d'ajuster une droite
- 4Interpoler, extrapoler, garder l'esprit critique
À retenir
- Un nuage de points représente une série à deux variables quantitatives : un point par individu, sans relier les points.
- Regarder la forme du nuage avant de calculer : un ajustement affine ne vaut que si les points s'alignent à peu près.
- Point moyen : , moyenne des d'un côté, moyenne des de l'autre.
- Droite de Mayer : deux groupes de même effectif, leurs points moyens et , puis la droite . Elle passe par G.
- Moindres carrés : la droite qui rend minimale, donnée par la calculatrice ou le tableur. Elle passe par G.
- a se lit « de combien y augmente quand x augmente de 1 », avec une unité.
Les questions éclair
Comment calcule-t-on le point moyen d'un nuage ?
G a pour abscisse la moyenne des xᵢ et pour ordonnée la moyenne des yᵢ.
Comment obtient-on la droite de Mayer ?
On partage le nuage en deux groupes de même effectif ; la droite passe par leurs points moyens G₁ et G₂.
Que minimise la droite des moindres carrés ?
La somme des carrés des écarts verticaux : Σ (yᵢ − (a xᵢ + b))².
Interpolation ou extrapolation ?
Interpoler = estimer DANS la plage des données (raisonnable). Extrapoler = en dehors (risqué).
Un bon ajustement prouve-t-il une cause ?
Non. Il montre un lien ; une troisième grandeur peut expliquer les deux.
Le sais-tu ?
La méthode des deux groupes porte le nom de l'astronome allemand Tobias Mayer. En 1750, pour décrire les mouvements de la Lune, il disposait de 27 observations pour trois inconnues seulement : trop d'équations, et légèrement contradictoires à cause des erreurs de mesure. Il eut l'idée de répartir ses équations en trois groupes et d'additionner celles de chaque groupe. Un peu plus de cinquante ans plus tard, Legendre puis Gauss publièrent la méthode des moindres carrés, qui règle le même problème de façon plus précise.