Les suites arithmétiques
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Le chapitre en bref
Ce que tu vas savoir faire
- Calculer la moyenne arithmétique de deux nombres et reconnaître le terme du milieu d'une suite arithmétique.
- Prouver que trois nombres sont, ou ne sont pas, des termes consécutifs d'une suite arithmétique.
- Déterminer la raison d'une suite arithmétique modélisant une évolution.
- Exprimer en fonction de n le terme général d'une suite arithmétique.
- Calculer la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique, et utiliser la notation Σ.
- Reconnaître une situation relevant du calcul d'une somme de termes consécutifs.
Le plan du chapitre
- 1Rappel et moyenne arithmétique
- 2Le terme général : sauter directement au rang n
- 3La notation Σ
- 4La somme des termes d'une suite arithmétique
À retenir
- Moyenne arithmétique de a et b : . Dans une suite arithmétique, chaque terme est la moyenne de ses voisins.
- Terme général : , ou si la suite démarre au rang 1.
- Raison à partir de deux termes : : on divise par le nombre de marches.
- Σ est une abréviation de « somme de » ; le compteur part de la borne du bas et monte jusqu'à celle du haut.
- .
- Somme arithmétique : nombre de termes × .
Les questions éclair
Quelle est la formule du terme général ?
u(n) = u(0) + n × r, ou u(1) + (n−1) × r si la suite démarre au rang 1.
Comment retrouver la raison avec deux termes ?
On divise l'écart des termes par l'écart des rangs : r = (u(q) − u(p)) ÷ (q − p).
Que vaut ?
n(n+1) ÷ 2. C'est la formule de Gauss.
Comment calcule-t-on une somme arithmétique ?
Nombre de termes × moyenne du premier et du dernier.
Combien de termes de u(0) à u(20) ?
21, et non 20 : il ne faut pas oublier le terme de rang 0.
Le sais-tu ?
L'anecdote est célèbre, même si elle a été enjolivée : vers 1785, un instituteur allemand aurait demandé à sa classe d'additionner tous les entiers de 1 à 100, espérant une heure de tranquillité. Le jeune Carl Friedrich Gauss, âgé de sept ou huit ans, aurait répondu 5 050 en quelques secondes, en remarquant que 1 et 100, 2 et 99, 3 et 98 font toujours 101, et qu'il y a cinquante de ces paires. C'est exactement le raisonnement qui donne la formule du chapitre.