Nombres complexes : forme exponentielle et applications

À retenir

• $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ ; tout $z \neq 0$ s'écrit $re^{i\theta}$ avec $r = |z| > 0$.
• $e^{i\theta}e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$ : produit → modules multipliés, arguments additionnés ; $(e^{i\theta})^{n} = e^{in\theta}$.
• $e^{i\pi/2} = i$ ; $e^{i\pi} = -1$ ; $\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$.
• $\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$ ; $\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$.
• $\sin 2a = 2\sin a\cos a$ ; $\cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2a}{2}$ ; $\sin^{2} a = \frac{1 - \cos 2a}{2}$.
• $a\cos\omega t + b\sin\omega t = A\cos(\omega t + \varphi)$ avec $A = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$, $\cos\varphi = \frac{a}{A}$, $\sin\varphi = -\frac{b}{A}$.