Séries à deux variables et ajustement affine
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Le chapitre en bref
Ce que tu vas savoir faire
- Représenter un nuage de points associé à une série statistique à deux variables quantitatives.
- Reconnaître si un ajustement affine est pertinent, au vu de la forme du nuage.
- Déterminer une droite d'ajustement et l'utiliser pour estimer une valeur.
- Comparer deux ajustements en calculant la somme des carrés des écarts : .
- Distinguer interpolation et extrapolation, et connaître les limites de la seconde.
Le plan du chapitre
- 1Le nuage de points
- 2La droite d'ajustement
- 3Comparer deux ajustements
- 4Interpoler, extrapoler, et se méfier
À retenir
- Un nuage de points représente une série à deux variables quantitatives : un point par individu.
- Regarder la forme du nuage avant de calculer : un ajustement affine ne vaut que si les points s'alignent à peu près.
- Écart d'un point à la droite : , la distance verticale.
- Critère : . Plus S est petit, meilleur est l'ajustement.
- On élève au carré pour que les écarts ne se compensent pas, et pour pénaliser les gros écarts.
- a se lit « de combien y augmente quand x augmente de 1 » : c'est un taux, avec une unité.
Les questions éclair
Qu'est-ce qu'un écart, dans un ajustement ?
La différence verticale entre la valeur observée et la valeur prédite : yᵢ − (a xᵢ + b).
Pourquoi élève-t-on les écarts au carré ?
Pour qu'ils ne se compensent pas (positifs et négatifs) et pour pénaliser davantage les gros écarts.
Comment interprète-t-on le coefficient a ?
C'est de combien y augmente quand x augmente de 1, avec son unité.
Interpolation ou extrapolation ?
Interpoler = estimer DANS la plage observée (raisonnable). Extrapoler = au-delà (risqué).
Un bon ajustement prouve-t-il une cause ?
Non, jamais. Il montre un lien ; une troisième variable peut expliquer les deux.
Le sais-tu ?
L'expression « régression » vient d'une étude de Francis Galton, en 1886, sur la taille des enfants comparée à celle de leurs parents. Il observa que les enfants de parents très grands étaient en moyenne moins grands que leurs parents, et ceux de parents très petits moins petits : les tailles « régressaient vers la moyenne ». Le phénomène est général et porte encore ce nom : c'est la régression vers la moyenne. Elle explique pourquoi un sportif exceptionnel une saison est souvent plus ordinaire la suivante : sans qu'aucune cause particulière soit en jeu.