Probabilités conditionnelles et arbres pondérés
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Le chapitre en bref
Ce que tu vas savoir faire
- Calculer une probabilité conditionnelle avec la formule .
- Construire un arbre pondéré et interpréter la pondération de chaque branche.
- Utiliser la règle du produit le long d'un chemin et la règle de la somme entre chemins.
- Reconnaître et démontrer l'indépendance de deux événements.
- Appliquer la formule des probabilités totales pour une partition en deux ou trois événements.
- Calculer une probabilité conditionnelle « à l'envers » : passer de à .
Le plan du chapitre
- 1Le conditionnement, formalisé
- 2L'arbre pondéré
- 3L'indépendance
- 4La formule des probabilités totales
À retenir
- , et donc .
- Sur un arbre pondéré : 1ᵉʳ niveau = probabilités simples ; 2ᵉ niveau = probabilités conditionnelles.
- Les branches issues d'un même nœud ont pour somme 1. Un chemin = produit. Un événement = somme des chemins.
- Indépendance : , ou encore .
- Indépendants ≠ incompatibles : deux événements incompatibles de probabilité non nulle ne sont jamais indépendants.
- Probabilités totales : : la somme de tous les chemins menant à B.
Les questions éclair
Quelle est la formule du conditionnement ?
(B) = P(A ∩ B) ÷ P(A). Et en la retournant : P(A ∩ B) = P(A) × (B).
Que portent les branches du second niveau d'un arbre ?
Des probabilités CONDITIONNELLES : elles dépendent de la branche d'où l'on vient.
Comment démontrer que A et B sont indépendants ?
On compare P(A ∩ B) et P(A) × P(B). S'ils sont égaux, les événements sont indépendants.
Incompatibles et indépendants, est-ce pareil ?
Non. Incompatibles : ils ne peuvent pas arriver ensemble. Deux incompatibles de probabilité non nulle ne sont JAMAIS indépendants.
Comment remonte-t-on un arbre ?
(A) = P(A ∩ B) ÷ P(B) : le chemin qui nous intéresse, divisé par la somme de tous ceux qui mènent à B.
Le sais-tu ?
Dans un jeu télévisé américain des années 1960, l'animateur proposait trois portes : derrière l'une, une voiture ; derrière les deux autres, une chèvre. Après le choix du candidat, l'animateur, qui sait où est la voiture, ouvrait une porte perdante, puis proposait de changer. Faut-il changer ? La réponse est oui : on double ses chances, en passant de à . Quand une journaliste publia cette réponse dans un magazine, en 1990, des milliers de lecteurs, dont des mathématiciens professionnels, écrivirent pour la contester. Tous oubliaient que l'ouverture de la porte apporte une information : c'est un conditionnement.