La fonction inverse
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Le chapitre en bref
Ce que tu vas savoir faire
- Connaître l'ensemble de définition de la fonction inverse et son comportement aux bornes.
- Connaître et retrouver la dérivée de , et en déduire le sens de variation.
- Reconnaître les asymptotes de l'hyperbole, de façon intuitive.
- Étudier et représenter une fonction obtenue par combinaison linéaire de la fonction inverse et d'un polynôme de degré au plus 3.
- Modéliser un coût moyen ou un prix unitaire et l'optimiser.
Le plan du chapitre
- 1L'hyperbole et ses deux branches
- 2La dérivée, retrouvée avec un taux de variation
- 3Combiner l'inverse et un polynôme
- 4Le coût moyen
À retenir
- est définie pour ; sa courbe, l'hyperbole, a deux branches séparées.
- Près de 0 la courbe s'envole ; loin de 0 elle se colle à l'axe des abscisses. Les deux axes sont ses asymptotes.
- , toujours négative : la fonction est décroissante sur chacun des deux intervalles, jamais sur leur réunion.
- Pour : on dérive terme à terme, puis on met au même dénominateur.
- Le dénominateur étant un carré, donc positif, le signe de la dérivée est celui du seul numérateur.
- Coût moyen : . Les frais fixes y produisent le terme en .
Les questions éclair
Où la fonction inverse n'est-elle pas définie ?
En 0 : on ne divise pas par zéro. Sa courbe a donc deux branches séparées.
Quelle est la dérivée de 1/x ?
−1/x², toujours négative : la fonction décroît sur chacun de ses deux intervalles.
Qu'est-ce qu'une asymptote, intuitivement ?
Une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment : l'écart entre la courbe et la droite devient aussi petit qu'on veut. Une courbe peut couper son asymptote ; celle de la fonction inverse, elle, ne touche jamais les siennes.
Comment étudier le signe de la dérivée de ?
On met au même dénominateur : celui-ci est un carré donc positif, le signe est celui du numérateur.
Coût moyen ou coût marginal ?
Moyen = C(x)/x, ce que coûte un objet en moyenne. Marginal = C'(x), ce que coûte l'objet suivant.
Le sais-tu ?
L'hyperbole est l'une des trois coniques, avec la parabole et l'ellipse, étudiées dès le IIIᵉ siècle avant notre ère par Apollonios de Perga, qui leur donna leurs noms. Elles s'obtiennent toutes en coupant un cône par un plan, selon l'inclinaison choisie. Deux mille ans plus tard, Kepler découvrait que les planètes décrivent des ellipses, et l'on sait aujourd'hui que certaines comètes suivent des trajectoires hyperboliques : elles traversent le système solaire une seule fois, et ne reviennent jamais.