Les fonctions exponentielles de base a

Q: Que vaut $a^{-x}$ ?

1 ÷ aˣ. Un exposant négatif donne l'inverse.

Q: Par quel point passent toutes les courbes $y = a^{x}$ ?

Par (0 ; 1), puisque a⁰ = 1 quelle que soit la base.

Q: Quand $x \mapsto a^{x}$ est-elle croissante ?

Quand a > 1. Elle décroît si 0 < a < 1.

Q: Comment calcule-t-on un taux moyen sur n périodes ?

On prend le coefficient global à la puissance 1/n, puis on retranche 1.

Q: Une hausse de 30 % en 5 ans, cela fait-il 6 % par an ?

Non : il faut calculer $1{,}30^{\frac{1}{5}} \approx 1{,}0539$, soit environ 5,39 % par an.

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Le chapitre en bref

Ce que tu vas savoir faire

Comprendre $x \mapsto a^{x}$ comme le prolongement continu de la suite géométrique $(a^{n})$ .
Savoir que $a^{-x} = \frac{1}{a^{x}}$ , et que $a^{x}$ est toujours strictement positif.
Connaître le sens de variation de $x \mapsto k a^{x}$ selon le signe de k et la valeur de a.
Utiliser les propriétés algébriques : $a^{x+y} = a^{x}a^{y}$ , $a^{x-y} = \frac{a^{x}}{a^{y}}$ , $a^{nx} = (a^{x})^{n}$ .
Calculer le taux d'évolution moyen équivalent à n évolutions successives, à l'aide de l'exposant $\frac{1}{n}$ .

Le plan du chapitre

1Du discret au continu
2Variations et allure de la courbe
3Les propriétés algébriques
4Le taux d'évolution moyen

À retenir

$x \mapsto a^{x}$ ( $a > 0$ ) prolonge la suite géométrique $(a^{n})$ à tous les réels.
$a^{-x} = \frac{1}{a^{x}}$ et $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ .
$a^{x} > 0$ toujours : la courbe reste au-dessus de l'axe, et passe toujours par $(0 \,;\, 1)$ .
Variation : croissante si $a > 1$ , décroissante si $0 < a < 1$ . Un coefficient $k < 0$ inverse le sens.
$a^{x+y} = a^{x}a^{y}$  ; $a^{x-y} = \frac{a^{x}}{a^{y}}$  ; $a^{nx} = (a^{x})^{n}$ . Rien pour les sommes.
Taux moyen : $q = C^{\frac{1}{n}}$ , où C est le coefficient global sur n périodes.

Les questions éclair

Que vaut $a^{-x}$  ?

1 ÷ aˣ. Un exposant négatif donne l'inverse.

Par quel point passent toutes les courbes $y = a^{x}$  ?

Par (0 ; 1), puisque a⁰ = 1 quelle que soit la base.

Quand $x \mapsto a^{x}$ est-elle croissante ?

Quand a > 1. Elle décroît si 0 < a < 1.

Comment calcule-t-on un taux moyen sur n périodes ?

On prend le coefficient global à la puissance 1/n, puis on retranche 1.

Une hausse de 30 % en 5 ans, cela fait-il 6 % par an ?

Non : il faut calculer $1{,}30^{\frac{1}{5}} \approx 1{,}0539$ , soit environ 5,39 % par an.

Le sais-tu ?

Quand un journal annonce qu'une épidémie « croît de façon exponentielle », il emploie l'expression au sens strict : le nombre de cas est multiplié par un même coefficient à intervalles réguliers. Et c'est précisément ce qui la rend difficile à saisir : pendant longtemps, les nombres restent petits et rien ne semble se passer ; puis, en quelques périodes, ils explosent. Les épidémiologistes suivent d'ailleurs non pas le nombre de cas, mais le coefficient multiplicateur : celui-là même que tu viens d'apprendre à calculer.

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