La fonction logarithme décimal

Q: Que vaut log(b), concrètement ?

L'exposant qu'il faut donner à 10 pour obtenir b. log(1000) = 3 car 10³ = 1000.

Q: Comment résout-on $a^{x} = b$ ?

x = log(b) ÷ log(a). On applique log des deux côtés, le x descend.

Q: Que devient un produit sous un logarithme ?

Une SOMME : log(ab) = log a + log b. Le log abaisse chaque opération d'un cran.

Q: Peut-on calculer log(−3) ou log(0) ?

Non : le logarithme n'existe que pour les nombres strictement positifs.

Q: Quand faut-il inverser le sens d'une inéquation ?

Quand on divise par log(a) avec 0 < a < 1, car ce logarithme est négatif.

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Le chapitre en bref

Ce que tu vas savoir faire

Connaître la définition du logarithme décimal : $\log(b)$ est l'unique solution de l'équation $10^{x} = b$ , pour $b > 0$ .
Connaître le sens de variation de la fonction log.
Utiliser les propriétés algébriques : $\log(ab) = \log a + \log b$ , $\log(a^{n}) = n \log a$ , $\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b$ .
Résoudre une équation du type $a^{x} = b$ ou $x^{a} = b$ .
Résoudre une inéquation du type $a^{x} < b$ , ou $a^{n} < b$ d'inconnue n entière.
Utiliser log pour obtenir un ordre de grandeur et le nombre de chiffres d'un entier.

Le plan du chapitre

1La machine inverse de la puissance de 10
2Les propriétés algébriques
3Résoudre aˣ = b
4Ordre de grandeur et nombre de chiffres

À retenir

$\log(b)$ est l'exposant qu'il faut donner à 10 pour obtenir b : $10^{x} = b \iff x = \log b$ .
log n'existe que pour $b > 0$  ; il est croissant, et il peut être négatif (si $0 < b < 1$ ).
$\log(ab) = \log a + \log b$  ; $\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b$  ; $\log(a^{n}) = n \log a$ .
Le log abaisse d'un cran : produit → somme, quotient → différence, puissance → produit. Rien pour une somme.
$a^{x} = b \iff x = \frac{\log b}{\log a}$ . Si l'inconnue $x > 0$ est en base ( $x^{a} = b$ , avec $b > 0$ ), on utilise $x = b^{\frac{1}{a}}$ .
Inéquation : si $0 < a < 1$ , alors $\log a < 0$ et il faut inverser le sens.

Les questions éclair

Que vaut log(b), concrètement ?

L'exposant qu'il faut donner à 10 pour obtenir b. log(1000) = 3 car 10³ = 1000.

Comment résout-on $a^{x} = b$  ?

x = log(b) ÷ log(a). On applique log des deux côtés, le x descend.

Que devient un produit sous un logarithme ?

Une SOMME : log(ab) = log a + log b. Le log abaisse chaque opération d'un cran.

Peut-on calculer log(−3) ou log(0) ?

Non : le logarithme n'existe que pour les nombres strictement positifs.

Quand faut-il inverser le sens d'une inéquation ?

Quand on divise par log(a) avec 0 < a < 1, car ce logarithme est négatif.

Le sais-tu ?

Les logarithmes ont été inventés vers 1614 par l'Écossais John Napier dans un seul but : épargner du temps aux astronomes, qui passaient des journées à multiplier des nombres de dix chiffres. En transformant les produits en sommes, les tables de logarithmes ont divisé ce travail par dix. Laplace dira qu'elles ont « doublé la vie des astronomes ». Les règles à calcul, utilisées par tous les ingénieurs jusqu'aux années 1970, reposaient entièrement sur ce principe : deux longueurs qu'on additionne physiquement, et c'est un produit qui s'affiche.

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