Espérance et loi binomiale

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Le chapitre en bref

Ce que tu vas savoir faire

Calculer et interpréter l'espérance d'une variable aléatoire discrète dans des cas simples.
Comprendre le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ comme le nombre de chemins à k succès dans un arbre de n épreuves.
Construire le triangle de Pascal et y lire les coefficients binomiaux pour $n \le 10$ .
Reconnaître une situation relevant de la loi binomiale et identifier ses paramètres (n ; p).
Calculer $P(X = 0)$ , $P(X = n)$ , $P(X = 1)$ , $P(X = n-1)$ , puis $P(X = k)$ avec les coefficients binomiaux.
Connaître l'espérance $E(X) = np$ et l'interpréter.

Le plan du chapitre

1L'espérance, rappel et interprétation
2Compter les chemins : le triangle de Pascal
3La loi binomiale
4Calculer des probabilités binomiales
5L'espérance de la loi binomiale

À retenir

Espérance : $E(X) = \sum x_{i}p_{i}$ , la moyenne sur un grand nombre de répétitions : à interpréter avec son unité.
$\binom{n}{k}$ = nombre de chemins à exactement k succès dans un arbre de n épreuves.
Triangle de Pascal : chaque nombre est la somme des deux au-dessus. $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ , $\binom{n}{1} = n$ .
Loi binomiale : deux issues, même p, épreuves indépendantes, X compte les succès sur n épreuves → $\mathcal{B}(n \,;\, p)$ .
$P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}$ . En particulier $P(X = 0) = (1-p)^{n}$ .
$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$  : l'astuce du contraire, toujours.

Les questions éclair

Que représente $\binom{n}{k}$  ?

Le nombre de chemins à exactement k succès dans un arbre de n épreuves.

Comment construit-on le triangle de Pascal ?

Chaque ligne commence et finit par 1 ; chaque nombre intérieur est la somme des deux qui le surmontent.

Quelles sont les conditions d'une loi binomiale ?

Deux issues, même probabilité de succès, épreuves indépendantes, X compte les succès sur n épreuves.

Quelle est la formule de P(X = k) ?

(k parmi n) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ : nombre de chemins × probabilité d'un chemin.

Quelle est l'espérance de B(n ; p) ?

np : le nombre moyen de succès sur un grand nombre de répétitions.

Le sais-tu ?

Le triangle qui porte le nom de Blaise Pascal, qui l'étudia en 1654 dans un traité célèbre, était en réalité connu depuis des siècles : le mathématicien perse Al-Karaji le décrivait vers l'an 1000, et le Chinois Yang Hui le publiait en 1261 : si bien qu'en Chine on l'appelle encore le « triangle de Yang Hui ». Pascal, lui, fut le premier à s'en servir systématiquement pour résoudre des problèmes de probabilités, à la demande d'un joueur, le chevalier de Méré, qui voulait savoir comment partager équitablement les mises d'une partie interrompue.

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