La méthode de Monte-Carlo
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Le chapitre en bref
Ce que tu vas savoir faire
- Comprendre le principe : la fréquence observée sur un grand nombre de simulations estime une probabilité.
- Estimer une aire par la proportion de points aléatoires tombant dans une zone.
- Écrire un algorithme de simulation en Python (tirage, test, compteur, fréquence).
- Comprendre que l'estimation fluctue d'une simulation à l'autre, et qu'elle devient plus précise quand le nombre de tirages augmente.
- Confronter une estimation par simulation à une valeur calculée quand elle existe.
Le plan du chapitre
- 1Le principe : la fréquence estime la probabilité
- 2Estimer une aire en lançant des points
- 3Programmer la simulation
- 4Quelle confiance accorder au résultat ?
À retenir
- Principe : sur un grand nombre de répétitions, la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité.
- Méthode de Monte-Carlo : modéliser, simuler N fois, compter, estimer par la fréquence.
- Aire d'une zone : aire du rectangle × proportion des points aléatoires tombant dans la zone.
- π : un point est dans le quart de disque si ; π ≈ 4 × fréquence.
- Programme : compteur à zéro avant la boucle, N répétitions, un test, puis fréquence = compteur ÷ N.
- L'estimation fluctue ; elle est d'autant plus précise que N est grand : environ 100 fois plus de tirages pour une décimale de plus.
Les questions éclair
Sur quelle idée repose la méthode de Monte-Carlo ?
Sur un grand nombre de répétitions, la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité.
Comment estime-t-on π par cette méthode ?
On tire des points dans le carré unité ; π ≈ 4 × proportion des points vérifiant x² + y² ⩽ 1.
Pourquoi deux simulations donnent-elles des résultats différents ?
À cause de la fluctuation d'échantillonnage : chaque simulation est un échantillon aléatoire.
Comment améliorer la précision ?
En augmentant N ; il faut environ cent fois plus de tirages pour gagner une décimale.
Quelle erreur de programmation est la plus fréquente ?
Initialiser le compteur à l'intérieur de la boucle : il est remis à zéro à chaque tour.
Le sais-tu ?
La méthode doit son nom à Stanislaw Ulam et John von Neumann, qui la mirent au point en 1946 à Los Alamos, pour simuler le trajet des neutrons dans la matière : un calcul impossible à mener à la main. Ulam en eut l'idée pendant une convalescence, en se demandant quelle était la probabilité de réussir une réussite aux cartes : plutôt que de la calculer, pourquoi ne pas en jouer cent parties et compter ? Le nom de code « Monte-Carlo » fut choisi en hommage à un oncle d'Ulam, grand habitué du casino de Monaco.