Les suites géométriques
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Le chapitre en bref
Ce que tu vas savoir faire
- Calculer la moyenne géométrique de deux nombres positifs.
- Prouver que trois nombres sont, ou ne sont pas, des termes consécutifs d'une suite géométrique.
- Déterminer la raison d'une suite géométrique modélisant une évolution.
- Exprimer en fonction de n le terme général d'une suite géométrique.
- Calculer la somme des n premiers termes d'une suite géométrique.
- Reconnaître une situation de placement à intérêts composés avec versements réguliers.
Le plan du chapitre
- 1Rappel et moyenne géométrique
- 2Le terme général
- 3La somme des termes
- 4Le placement à versements réguliers
À retenir
- Moyenne géométrique de a et b positifs : . Chaque terme est la moyenne géométrique de ses voisins.
- Terme général : , ou si la suite démarre au rang 1.
- Sens de variation : croissante si , décroissante si .
- Somme : premier terme , valable pour .
- Dans , il y a termes : d'où l'exposant dans la formule.
- Intérêts composés → suite géométrique ; intérêts simples → suite arithmétique.
Les questions éclair
Quelle est la formule du terme général ?
u(n) = u(0) × qⁿ. L'exposant compte les multiplications.
Qu'est-ce que la moyenne géométrique de a et b ?
, pour a et b positifs. Elle est toujours inférieure ou égale à la moyenne arithmétique.
Quelle est la formule de la somme ?
Premier terme × (1 − ) ÷ (1 − q), valable pour q ≠ 1.
Quand une suite géométrique est-elle croissante ?
Quand q > 1 (avec des termes positifs). Elle décroît si 0 < q < 1.
Intérêts simples ou composés, quelle suite ?
Simples → arithmétique (on ajoute toujours autant). Composés → géométrique (les intérêts rapportent aussi).
Le sais-tu ?
On raconte qu'un inventeur demanda au roi, pour prix de son jeu d'échecs, un grain de riz sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite jusqu'à la soixante-quatrième. Le total est la somme d'une suite géométrique de raison 2 : , soit environ 18 milliards de milliards de grains : près de mille ans de la production mondiale actuelle. La formule que tu viens d'apprendre donne ce résultat en une ligne.