Échantillon

2ᵈᵉ

Statistiques & probabilités

Définition

Une liste d'individus tirés au hasard dans une population, pour l'étudier sans l'interroger en entier.

Pour bien comprendre

On recourt à un échantillon quand interroger toute la population serait trop long, trop cher, ou impossible. Le prix à payer est l'incertitude : deux échantillons tirés dans la même population ne donnent pas exactement le même résultat, et cet écart s'appelle la fluctuation d'échantillonnage.

Exemple

Un sondage sur 1000 personnes est un échantillon de la population française.

Ce qu'il faut savoir

La taille de l'échantillon est son nombre d'individus, souvent notée $n$ .
La fréquence observée dans l'échantillon est une estimation de la proportion dans la population.
Deux échantillons de même taille donnent des fréquences différentes : c'est la fluctuation d'échantillonnage.
Plus l'échantillon est grand, moins les fréquences fluctuent, mais le gain est lent : l'incertitude diminue comme l'inverse de $\sqrt{n}$ .
Le tirage doit être au hasard : un échantillon mal tiré reste faux, même très grand.

Exemples résolus

Dans un échantillon de 200 personnes, 86 déclarent pratiquer un sport. Quelle est la fréquence observée ?

On divise l'effectif par la taille de l'échantillon :

\dfrac{86}{200} = 0{,}43

.
La fréquence vaut

\mathbf{0{,}43}

, soit 43 %.

Une proportion vaut 0,5 dans la population. Avec un échantillon de 100 individus, dans quel intervalle la fréquence a-t-elle de fortes chances de tomber ?

L'amplitude usuelle est

\dfrac{1}{\sqrt{n}}

, soit

\dfrac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1

.
L'intervalle va donc de

0{,}5 - 0{,}1

0{,}5 + 0{,}1

, c'est-à-dire de

\mathbf{0{,}4}

\mathbf{0{,}6}

On veut diviser par deux l'incertitude d'un sondage. Par combien faut-il multiplier la taille de l'échantillon ?

L'incertitude varie comme

\dfrac{1}{\sqrt{n}}

. Pour la diviser par 2, il faut que

\sqrt{n}

double, donc que

n

soit multiplié par

\mathbf{4}

.
C'est ce qui rend les sondages très précis si coûteux : chaque chiffre gagné coûte quatre fois plus.

Les erreurs fréquentes

Croire qu'un gros échantillon corrige un mauvais tirage. Interroger 100 000 personnes à la sortie d'un stade ne dit rien de la population générale.
Confondre la fréquence observée dans l'échantillon et la proportion dans la population : la première estime la seconde, elle ne l'égale pas.
Oublier que l'incertitude dépend de la taille de l'échantillon, et non de celle de la population.
Attendre d'un échantillon deux fois plus grand une précision deux fois meilleure : elle n'est améliorée que d'un facteur $\sqrt{2}$ .

Questions fréquentes

Quelle taille d'échantillon faut-il ?

Cela dépend de la précision voulue. Avec $n$ individus, l'amplitude usuelle de l'intervalle vaut environ $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ : 1000 personnes donnent une précision d'environ 3 points, ce qui explique que tant de sondages portent sur ce nombre.

Pourquoi deux sondages donnent-ils des résultats différents ?

Parce qu'ils n'interrogent pas les mêmes personnes. Même parfaitement tirés dans la même population, deux échantillons donnent des fréquences différentes : c'est la fluctuation d'échantillonnage, et elle est inévitable.

La taille de la population compte-t-elle ?

Presque pas, et c'est contre-intuitif. Un échantillon de 1000 personnes donne à peu près la même précision pour une ville de 50 000 habitants que pour un pays de 60 millions. Ce qui compte est la taille de l'échantillon, pas la part qu'il représente.

S'entraîner sur cette notion

Échantillon s'emploie dans la notion « Échantillonnage et fluctuation », de la 2de à la Terminale.

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