La fonction exponentielle

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{e^{x}}{e^{x} + 1}$.
a) Montre que $f(x) = 1 - \dfrac{1}{e^{x} + 1}$.
b) Déduis-en le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$, sans calculer sa dérivée.

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = xe^{-x}$.
a) Calcule $f'(x)$ et factorise-la.
b) Détermine l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 0.

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2e^{x} - x^{2}$.
a) Calcule $f'(x)$ puis $f''(x)$.
b) Étudie le signe de $f''(x)$. La courbe de $f$ est-elle convexe sur $\mathbb{R}$ tout entier ?

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{x} - x$.
a) Calcule $f'(x)$ et résous $f'(x) = 0$.
b) Déduis-en le minimum de $f$, en valeur exacte.

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x + 3)e^{-x}$.
a) Calcule $f'(x)$ et factorise le résultat.
b) Étudie le signe de $f'$ et donne le maximum de $f$.

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x} = e^{x + 6}$.
a) Donne la solution.
b) Résous ensuite l'inéquation $e^{2x} \le e^{x + 6}$.

On pose $A = \dfrac{e^{5} \times e^{-3}}{e^{-1}}$ et $B = \left(e^{2}\right)^{3} \times e^{-4}$.
a) Écris A et B sous la forme d'une seule puissance de e.
b) Résous l'équation $e^{2x - 1} = A$.

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x - 2)e^{x}$.
a) Calcule $f'(x)$ et factorise le résultat.
b) Étudie le signe de $f'(x)$ et dresse le tableau de variations de $f$.

Résous dans $\mathbb{R}$ :
a) $e^{3x} = e^{x + 4}$ ;
b) $e^{2x} + e^{x} - 2 = 0$ (on posera $X = e^{x}$).

Le nombre de bactéries d'une culture est modélisé par $N(t) = 500e^{0{,}3t}$, où $t$ est le temps en heures.
a) Combien y a-t-il de bactéries au départ, et au bout de 5 heures ?
b) Montre, par le calcul, que la population a doublé entre la 2ᵉ et la 3ᵉ heure.