La fonction exponentielle

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1
Soit C la courbe de la fonction $f(x)=e^x$ , et a un réel quelconque.
Détermine l'équation de la tangente à C issue de l'origine.
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a) $f(a)=e^a$ et $f'(x)=e^x$ donc $f'(a)=e^a$ .
T : $y = f'(a)(x - a) + f(a) = e^a(x - a) + e^a$ .
On développe : $y = e^a x - a e^a + e^a = e^a x + (1 - a)e^a$ .
b) La tangente passe par $O(0 \,;\, 0)$ si, en remplaçant $x=0$ et $y=0$ , l'égalité est vérifiée :
$0 = e^a\times 0 + (1 - a)e^a = (1 - a)e^a$ .
Comme $e^a > 0$ , on doit avoir $1 - a = 0$ , soit $a = 1$ .
c) Pour $a=1$ : $y = e^1 x + (1 - 1)e^1 = e x + 0 = e x$ .
La tangente issue de l'origine a pour équation $y = e x$ . Elle touche la courbe au point $(1 \,;\, e)$ .
2
Soit f la fonction définie sur ℝ par $f(x)=e^x + e^{-x}$ .
Dresse les variations de f et montre que $f(x) \ge 2$ pour tout réel x.
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a) La dérivée de $e^x$ est $e^x$ ; celle de $e^{-x}$ est $-e^{-x}$ .
$f'(x) = e^x - e^{-x}$ .
b) $f'(x)=0$ ⟺ $e^x = e^{-x}$ ⟺ $x = -x$ (croissance de exp) ⟺ $2x = 0$ ⟺ $x = 0$ .
Signe : $f'(x) > 0$ ⟺ $e^x > e^{-x}$ ⟺ $x > -x$ ⟺ $x > 0$ .
Donc $f'(x) < 0$ pour $x < 0$ et $f'(x) > 0$ pour $x > 0$ .
c) f est décroissante sur $]-\infty \,;\, 0]$ puis croissante sur $[0 \,;\, +\infty [$ : elle atteint son minimum en $x=0$ .
$f(0)=e^0 + e^0 = 1 + 1 = 2$ .
Comme 2 est le minimum de f, on a $f(x) \ge 2$ pour tout réel x.
3
Une population de bactéries (en milliers) est modélisée pour $t \ge 0$ (t en heures) par $N(t)=2e^{0{,}5t}$ .
Détermine à partir de quel instant la population dépasse $2e^2$ milliers.
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4
Soit f la fonction définie sur $]-1 \,;\, +\infty [$ par $f(x)=\frac{e^x}{(x+1)}$ .
Détermine la valeur minimale de f.
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5
On pose, pour tout réel x, $A(x)=(e^x + 1)^{2} - (e^x - 1)^{2}$ .
Calcule A(0) à l'aide du résultat, puis vérifie par le calcul direct.
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6
Soit f la fonction définie sur ℝ par $f(x)=e^x - x - 1$ .
Montre que, pour tout réel x, $e^x \ge x + 1$ . Précise le cas d'égalité et donne une interprétation géométrique.
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7
Soit g la fonction définie sur ℝ par $g(x)=(x + 1)e^{-x}$ .
Donne l'équation de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse 0.
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8
On considère les deux fonctions x ↦ $e^{2x}$ et x ↦ $e^{x}$ sur ℝ.
Détermine la position relative des deux courbes selon les valeurs de x.
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9
Soit f la fonction définie sur ℝ par $f(x)=(2x - 6)e^x$ .
Étudie les variations de f et donne la valeur de son minimum.
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10
Soit f la fonction définie sur ℝ par $f(x)=(x^{2} - 3)e^x$ .
Détermine les abscisses des points où la tangente à la courbe est horizontale.
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