La fonction exponentielle
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Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=(x² − 3).
a) Calcule f'(x) et factorise-la complètement.
b) Étudie le signe de f'(x) et dresse le tableau de variations de f (avec les extrémums).
c) Détermine les abscisses des points où la tangente à la courbe est horizontale.✅ Voir le corrigéoffert
a) Produit u=x²−3 (u'=2x) et v= (v'=).
f'(x) = 2x× + (x²−3)× = (x² + 2x − 3).
On factorise le trinôme x²+2x−3 : ses racines sont −3 et 1 (somme −2, produit −3), donc x²+2x−3 = (x+3)(x−1).
Ainsi f'(x) = (x+3)(x−1).
b) Comme > 0, le signe de f'(x) est celui de (x+3)(x−1). Ce produit est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.
f'(x) > 0 sur ]−∞ ; −3[, f'(x) < 0 sur ]−3 ; 1[, f'(x) > 0 sur ]1 ; +∞[.
Donc f est croissante sur ]−∞ ; −3], décroissante sur [−3 ; 1], croissante sur [1 ; +∞[.
Maximum local en x=−3 : f(−3)=((−3)²−3)e^(−3)=(9−3)e^(−3)=6e^(−3)=.
Minimum local en x=1 : f(1)=(1²−3)=(1−3)e=−2e.
c) La tangente est horizontale là où f'(x)=0. Comme ne s'annule jamais : (x+3)(x−1)=0, soit x=−3 ou x=1.
Les tangentes horizontales sont donc aux points d'abscisses −3 et 1. - 2
Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x)=(x + 1)e^(−x).
a) Calcule g'(x) et factorise-la.
b) Étudie les variations de g et donne son maximum.
c) Donne l'équation de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse 0.✅ Voir le corrigéoffert
a) Produit u=x+1 (u'=1) et v=e^(−x). La dérivée de e^(−x) est −e^(−x) (règle k×e^(kx) avec k=−1).
g'(x) = 1×e^(−x) + (x+1)×(−e^(−x)) = e^(−x)[1 − (x+1)] = e^(−x)(−x) = −x e^(−x).
b) Comme e^(−x) > 0, le signe de g'(x) est celui de −x.
−x > 0 pour x < 0 : g croissante sur ]−∞ ; 0].
−x < 0 pour x > 0 : g décroissante sur [0 ; +∞[.
g admet donc un maximum en x=0 : g(0)=(0+1)=1×1=1.
c) y = g'(0)(x − 0) + g(0). On a g(0)=1 et g'(0)=−0×=0.
y = 0×x + 1 = 1.
La tangente est horizontale, d'équation y = 1. - 3
On considère les deux fonctions x ↦ e^(2x) et x ↦ sur ℝ.
a) Résous l'équation e^(2x) − = 0.
b) Résous l'inéquation e^(2x) − < 0.
c) Déduis-en la position relative des deux courbes selon les valeurs de x.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
Soit f la fonction définie sur ]−1 ; +∞[ par f(x)=.
a) Calcule f'(x) et factorise le numérateur.
b) Étudie le signe de f'(x) et les variations de f sur ]−1 ; +∞[.
c) Déduis-en la valeur minimale de f.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
Une population de bactéries (en milliers) est modélisée pour t ≥ 0 (t en heures) par N(t)=2e^(0,5t).
a) Calcule la population initiale N(0).
b) Calcule N'(t) et justifie que la population est strictement croissante.
c) Détermine à partir de quel instant la population dépasse 2 milliers.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
Soit C la courbe de la fonction f(x)=, et a un réel quelconque.
a) Détermine l'équation de la tangente T à C au point d'abscisse a (en fonction de a).
b) Détermine la valeur de a pour laquelle cette tangente passe par l'origine O(0 ; 0).
c) Déduis-en l'équation de la tangente à C issue de l'origine.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)= + e^(−x).
a) Calcule f'(x).
b) Résous f'(x)=0 et étudie le signe de f'(x).
c) Déduis-en les variations de f et montre que f(x) ≥ 2 pour tout réel x.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=(2x − 6).
a) Étudie le signe de f(x) selon les valeurs de x.
b) Calcule f'(x) et factorise-la.
c) Étudie les variations de f et donne la valeur de son minimum.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
On pose, pour tout réel x, A(x)=( + 1)² − ( − 1)².
a) Développe ( + 1)² et ( − 1)² (on pourra poser X=).
b) Déduis-en une expression simplifiée de A(x).
c) Calcule A(0) à l'aide du résultat, puis vérifie par le calcul direct.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)= − x − 1.
a) Calcule f'(x) et étudie son signe.
b) Dresse le tableau de variations de f et détermine son minimum.
c) Déduis-en que, pour tout réel x, ≥ x + 1. Précise le cas d'égalité et donne une interprétation géométrique.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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