La fonction exponentielle

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1
Résous dans ℝ l'inéquation $e^{x}$ > $e^{4}$ .
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L'exponentielle est strictement croissante, donc elle conserve l'ordre : $e^a > e^b$ ⟺ $a > b$ .
Donc $e^x > e^4$ ⟺ $x > 4$ .
L'ensemble des solutions est $S=]4 \,;\, +\infty [$ .
2
Dérive la fonction f définie sur $]0 \,;\, +\infty [$ par $f(x)=\frac{e^x}{x}$ .
Voir le corrigéoffert
C'est un quotient $\frac{u}{v}$ avec $u=e^x (u'=e^x)$ et $v=x (v'=1)$ .
La formule est $(\frac{u}{v})$ ' $= \frac{(u'v - uv')}{v^{2}}$ .
$f'(x) = \frac{(e^x \times x - e^x \times 1)}{x^{2}} = \frac{(x e^x - e^x)}{x^{2}}$ .
On factorise le numérateur par $e^x$ : $f'(x) = \frac{e^x(x - 1)}{x^{2}}$ .
3
Dérive la fonction f définie sur ℝ par $f(x)=x\times e^x$ , puis factorise le résultat.
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4
Résous dans ℝ l'équation $e^{2x} = e^{x+3}$ .
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5
Dérive la fonction f définie sur ℝ par $f(x)=(2x - 3)e^x$ , puis factorise la dérivée.
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6
Détermine l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=e^x$ au point d'abscisse 0.
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7
Écris le nombre A sous la forme d'une seule puissance de e : $A = \frac{e^3 \times e^{-5}}{e^{-4}}$ .
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8
Résous dans ℝ l'équation $e^{x^{2}-1} = 1$ .
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9
Dérive la fonction f définie sur ℝ par $f(x)=3e^x - 5x + 2$ .
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10
Soit f définie sur ℝ par $f(x)=(x - 2)e^x$ . Calcule f'(x), étudie son signe, puis donne les variations de f.
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