Géométrie repérée

🟠 Difficile

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1
On considère le cercle $C : x^{2} + y^{2} - 8x - 2y + 8 = 0$ .
a) Détermine son centre et son rayon.
b) L'origine appartient-elle au cercle, à l'intérieur ou à l'extérieur ?
Voir le corrigéoffert
a) $x^{2} - 8x = (x - 4)^{2} - 16$ et $y^{2} - 2y = (y - 1)^{2} - 1$ .
L'équation devient $(x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} - 17 + 8 = 0$ .
Donc $(x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ .
Centre $\Omega(4 \,;\, 1)$ , rayon 3.

b) Distance de l'origine au centre : $\sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \approx 4{,}12$ .
Elle dépasse le rayon 3 : l'origine est à l'extérieur du cercle.
2
On donne $A(0 \,;\, 1)$ , $B(4 \,;\, 3)$ et $C(2 \,;\, 7)$ .
a) Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ .
b) Le triangle ABC est-il rectangle en A ?
Voir le corrigéoffert
a) $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}$ .
Produit scalaire : $4 \times 2 + 2 \times 6 = 8 + 12 = 20$ .

b) Le produit scalaire n'est pas nul : les vecteurs ne sont pas orthogonaux.
Le triangle n'est donc pas rectangle en A.
Il faudrait un produit scalaire nul pour conclure au contraire.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
On considère le cercle $C$ de centre $\Omega(1 \,;\, -4)$ et de rayon 5.
a) Donne son équation développée.
b) La droite $y = 2$ coupe-t-elle ce cercle ? Donne les points communs.
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4
On considère les droites $d : 2x + y - 7 = 0$ et $d' : x - 3y + 7 = 0$ .
a) Détermine les coordonnées de leur point d'intersection.
b) Ces droites sont-elles perpendiculaires ?
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5
On donne $A(1 \,;\, 3)$ et $B(7 \,;\, 11)$ .
a) Détermine une équation du cercle de diamètre $[AB]$ .
b) Vérifie que le point $C(1 \,;\, 11)$ appartient à ce cercle.
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6
Soit la droite $d$ passant par $A(2 \,;\, -1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ .
a) Détermine une équation cartésienne de $d$ .
b) Le point $B(8 \,;\, 9)$ appartient-il à $d$ ?
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7
On considère le cercle $C : (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 16$ et la droite $d : x = 7$ .
a) Étudie la position relative de $d$ et de $C$ .
b) Donne les éventuels points communs.
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8
On donne $A(-1 \,;\, 2)$ et $B(3 \,;\, 6)$ .
a) Détermine une équation cartésienne de la droite $(AB)$ .
b) Détermine une équation de la médiatrice de $[AB]$ .
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9
On considère le cercle d'équation $x^{2} + y^{2} - 4x + 6y - 12 = 0$ .
a) Détermine son centre et son rayon.
b) Le point $A(6 \,;\, -3)$ appartient-il à ce cercle ?
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10
Soit la droite $d : 3x - 4y + 5 = 0$ .
a) Détermine une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à $d$ passant par $A(2 \,;\, 1)$ .
b) Détermine une équation de la parallèle à $d$ passant par ce même point.
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