Géométrie repérée

🟠 Difficile

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1
On considère le cercle d'équation $x^{2} + y^{2} - 4x + 6y - 12 = 0$ .
a) Détermine son centre et son rayon.
b) Le point $A(6 \,;\, -3)$ appartient-il à ce cercle ?
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a) On regroupe et on complète les carrés.
$x^{2} - 4x = (x - 2)^{2} - 4$ et $y^{2} + 6y = (y + 3)^{2} - 9$ .
L'équation devient $(x - 2)^{2} - 4 + (y + 3)^{2} - 9 - 12 = 0$ .
Donc $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ .
Le centre est $\Omega(2 \,;\, -3)$ et le rayon vaut $\sqrt{25} = 5$ .

b) $(6 - 2)^{2} + (-3 + 3)^{2} = 16 + 0 = 16 \neq 25$ .
Le point A n'est pas sur le cercle : il est à 4 unités du centre, donc à l'intérieur.
2
Soit la droite $d : 3x - 4y + 5 = 0$ .
a) Détermine une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à $d$ passant par $A(2 \,;\, 1)$ .
b) Détermine une équation de la parallèle à $d$ passant par ce même point.
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a) Un vecteur normal de $d$ est $\vec{n}\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$ : c'est un vecteur directeur de la perpendiculaire.
La perpendiculaire a donc pour vecteur normal $\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ .
Son équation est de la forme $4x + 3y + c = 0$ .
En A : $8 + 3 + c = 0$ , donc $c = -11$ .
Équation : $4x + 3y - 11 = 0$ .

b) La parallèle a la même forme que $d$ : $3x - 4y + c = 0$ .
En A : $6 - 4 + c = 0$ , donc $c = -2$ .
Équation : $3x - 4y - 2 = 0$ .
3
On donne $A(1 \,;\, 3)$ et $B(7 \,;\, 11)$ .
a) Détermine une équation du cercle de diamètre $[AB]$ .
b) Vérifie que le point $C(1 \,;\, 11)$ appartient à ce cercle.
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4
On considère les droites $d : 2x + y - 7 = 0$ et $d' : x - 3y + 7 = 0$ .
a) Détermine les coordonnées de leur point d'intersection.
b) Ces droites sont-elles perpendiculaires ?
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5
On considère le cercle $C : (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 16$ et la droite $d : x = 7$ .
a) Étudie la position relative de $d$ et de $C$ .
b) Donne les éventuels points communs.
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6
On donne $A(-1 \,;\, 2)$ et $B(3 \,;\, 6)$ .
a) Détermine une équation cartésienne de la droite $(AB)$ .
b) Détermine une équation de la médiatrice de $[AB]$ .
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7
On considère le cercle $C$ de centre $\Omega(1 \,;\, -4)$ et de rayon 5.
a) Donne son équation développée.
b) La droite $y = 2$ coupe-t-elle ce cercle ? Donne les points communs.
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8
On donne $A(0 \,;\, 1)$ , $B(4 \,;\, 3)$ et $C(2 \,;\, 7)$ .
a) Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ .
b) Le triangle ABC est-il rectangle en A ?
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9
Soit la droite $d$ passant par $A(2 \,;\, -1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ .
a) Détermine une équation cartésienne de $d$ .
b) Le point $B(8 \,;\, 9)$ appartient-il à $d$ ?
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10
On considère le cercle $C : x^{2} + y^{2} - 8x - 2y + 8 = 0$ .
a) Détermine son centre et son rayon.
b) L'origine appartient-elle au cercle, à l'intérieur ou à l'extérieur ?
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