Géométrie repérée

🟡 Moyen

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1
Détermine une équation du cercle de centre Ω $(3 \,;\, 0)$ passant par le point $A(0 \,;\, 4)$ .
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Le rayon est la distance ΩA.
Ω $A = \sqrt{(0 - 3)^{2} + (4 - 0)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .
Le cercle a pour centre Ω $(3 \,;\, 0)$ et pour rayon 5, d'où l'équation $(x - 3)^{2} + (y - 0)^{2} = 25$ , soit $(x - 3)^{2} + y^{2} = 25$ .
Vérifions : pour $A(0 \,;\, 4)$ , $(0 - 3)^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ . Le point A est bien sur le cercle.
2
Détermine une équation cartésienne de la droite passant par les points $A(-2 \,;\, 1)$ et $B(2 \,;\, 3)$ .
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On calcule d'abord un vecteur directeur : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 - (-2) \\ 3 - 1 \end{pmatrix} = \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ .
Un vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ doit vérifier $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB} = 0$ , soit $4a + 2b = 0$ . On peut prendre $a = 1$ et $b = -2$ , donc $\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ .
Equation avec le point $A(-2 \,;\, 1)$ : $1\times (x + 2) - 2\times (y - 1) = 0$ .
On développe : $x + 2 - 2y + 2 = 0$ , soit $x - 2y + 4 = 0$ .
Vérification : pour $B(2 \,;\, 3)$ , $2 - 2\times 3 + 4 = 2 - 6 + 4 = 0$ . Le point B appartient bien à la droite.
3
Détermine une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à d : $2x - 5y + 1 = 0$ et passant par $A(1 \,;\, 3)$ .
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4
Détermine les coordonnées du point d'intersection des droites d : $x + y - 4 = 0$ et d′ : $2x - y - 2 = 0$ .
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5
Détermine une équation du cercle de diamètre [AB] avec $A(1 \,;\, 2)$ et $B(5 \,;\, 8)$ , en utilisant la condition $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB} = 0$ .
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6
Détermine une équation cartésienne de la droite parallèle à d : $3x + 2y - 7 = 0$ et passant par $B(-1 \,;\, 4)$ .
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7
On donne $A(1 \,;\, 1)$ , $B(4 \,;\, 2)$ et $C(0 \,;\, 4)$ . Montre que le triangle ABC est rectangle en A.
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8
On considère le cercle d'équation $x^{2} + y^{2} - 4x - 5 = 0$ . Détermine ses points d'intersection avec l'axe des abscisses.
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9
On considère le cercle C : $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ et la droite d : $x = 5$ . Étudie la position relative de d et de C, et donne les éventuels points communs.
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10
Détermine le centre et le rayon du cercle d'équation $x^{2} + y^{2} - 6x + 8y - 11 = 0$ .
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