Géométrie repérée
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Détermine le centre et le rayon du cercle d'équation x² + y² − 6x + 8y − 11 = 0.
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On complète les carrés pour x et pour y.
Pour x : x² − 6x = (x − 3)² − 9.
Pour y : y² + 8y = (y + 4)² − 16.
On remplace dans l'équation : (x − 3)² − 9 + (y + 4)² − 16 − 11 = 0.
On regroupe les constantes : (x − 3)² + (y + 4)² − 36 = 0, soit (x − 3)² + (y + 4)² = 36.
Le centre est Ω(3 ; −4) et le rayon vaut √36 = 6.
Vérification : le point (9 ; −4) donne (9 − 3)² + (−4 + 4)² = 36 + 0 = 36. Cohérent. - 2
Détermine une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à d : 2x − 5y + 1 = 0 et passant par A(1 ; 3).
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La droite d a pour vecteur normal n(2 ; −5) et pour vecteur directeur u(5 ; 2).
La droite cherchée d′ est perpendiculaire à d : sa direction est celle de n, donc un vecteur normal de d′ est un vecteur directeur de d, soit (5 ; 2).
Equation avec le point A(1 ; 3) : 5(x − 1) + 2(y − 3) = 0.
On développe : 5x − 5 + 2y − 6 = 0, soit 5x + 2y − 11 = 0.
Vérification : normal de d′ (5 ; 2), normal de d (2 ; −5) ; produit scalaire 5×2 + 2×(−5) = 10 − 10 = 0 (perpendiculaires). Pour A(1 ; 3) : 5×1 + 2×3 − 11 = 5 + 6 − 11 = 0. - 3
Détermine une équation cartésienne de la droite parallèle à d : 3x + 2y − 7 = 0 et passant par B(−1 ; 4).
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Détermine une équation du cercle de diamètre [AB] avec A(1 ; 2) et B(5 ; 8), en utilisant la condition MA·MB = 0.
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Détermine les coordonnées du point d'intersection des droites d : x + y − 4 = 0 et d′ : 2x − y − 2 = 0.
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On considère le cercle C : (x − 2)² + (y − 1)² = 9 et la droite d : x = 5. Étudie la position relative de d et de C, et donne les éventuels points communs.
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Détermine une équation cartésienne de la droite passant par les points A(−2 ; 1) et B(2 ; 3).
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On donne A(1 ; 1), B(4 ; 2) et C(0 ; 4). Montre que le triangle ABC est rectangle en A.
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Détermine une équation du cercle de centre Ω(3 ; 0) passant par le point A(0 ; 4).
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On considère le cercle d'équation x² + y² − 4x − 5 = 0. Détermine ses points d'intersection avec l'axe des abscisses.
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