Géométrie repérée
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On donne les points A(2 ; 1), B(6 ; 3) et C(0 ; 5).
a) Montre que le triangle ABC est rectangle en A.
b) Détermine une équation du cercle circonscrit au triangle ABC.
c) Vérifie que le point A appartient à ce cercle.✅ Voir le corrigéoffert
a) On calcule les vecteurs partant de A.
AB(6 − 2 ; 3 − 1) = AB(4 ; 2) et AC(0 − 2 ; 5 − 1) = AC(−2 ; 4).
Produit scalaire : AB·AC = 4×(−2) + 2×4 = −8 + 8 = 0.
Le produit scalaire est nul, donc le triangle ABC est rectangle en A.
b) Comme le triangle est rectangle en A, son hypoténuse est [BC] et le cercle circonscrit a pour diamètre [BC] : son centre est le milieu de l'hypoténuse.
Centre I : ( (6 + 0)÷2 ; (3 + 5)÷2 ) = I(3 ; 4).
Rayon : on calcule BC = √((0 − 6)² + (5 − 3)²) = √(36 + 4) = √40 = 2√10, donc r = √10 et r² = 10.
Equation : (x − 3)² + (y − 4)² = 10.
c) On remplace par les coordonnées de A(2 ; 1) : (2 − 3)² + (1 − 4)² = (−1)² + (−3)² = 1 + 9 = 10.
On obtient bien 10, donc A appartient au cercle, ce qui est normal puisque A est un sommet du triangle. - 2
On considère le cercle C : x² + y² = 25 et la droite d : y = x + 1.
a) Étudie la position relative de d et de C.
b) Détermine les coordonnées de leurs points d'intersection.
c) Calcule la longueur de la corde ainsi déterminée.✅ Voir le corrigéoffert
a) On cherche les points communs en remplaçant y par x + 1 dans x² + y² = 25.
x² + (x + 1)² = 25 → x² + x² + 2x + 1 = 25 → 2x² + 2x − 24 = 0, soit x² + x − 12 = 0.
Le discriminant vaut Δ = 1² − 4×1×(−12) = 1 + 48 = 49 > 0 : il y a deux solutions, donc la droite est sécante au cercle (deux points d'intersection).
b) On résout x² + x − 12 = 0. Comme √49 = 7, les racines sont x = = −4 et x = = 3.
Pour x = −4 : y = −4 + 1 = −3, point (−4 ; −3).
Pour x = 3 : y = 3 + 1 = 4, point (3 ; 4).
Vérification : (−4)² + (−3)² = 16 + 9 = 25 et 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Les deux points sont bien sur le cercle.
c) La longueur de la corde est la distance entre les deux points (−4 ; −3) et (3 ; 4).
Longueur = √((3 − (−4))² + (4 − (−3))²) = √(7² + 7²) = √(49 + 49) = √98 = 7√2.
La corde mesure 7√2, soit environ 9,9. - 3
On considère le cercle C de centre Ω(1 ; 2) et de rayon 5, ainsi que le point A(4 ; 6).
a) Vérifie que A appartient au cercle C.
b) Détermine une équation de la tangente à C au point A.
c) Vérifie, en calculant une distance, que cette droite est bien tangente au cercle.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
On donne A(−2 ; 3) et B(4 ; −1).
a) Détermine une équation du cercle de diamètre [AB].
b) Le point C(4 ; 3) appartient-il à ce cercle ?
c) Que peut-on en déduire pour le triangle ABC ? Justifie de deux façons.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
On cherche le cercle passant par les trois points A(1 ; 1), B(5 ; 1) et C(1 ; 5).
a) En écrivant l'équation sous la forme x² + y² + Dx + Ey + F = 0, établis un système vérifié par D, E et F.
b) Résous ce système.
c) Donne le centre et le rayon du cercle.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
On considère le cercle d'équation x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0 et la droite d : 3x − 4y + 1 = 0.
a) Détermine le centre et le rayon du cercle.
b) Calcule la distance du centre à la droite d.
c) Déduis-en la position relative de la droite et du cercle.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
On considère les droites d : mx + 3y − 1 = 0 et d′ : 2x − y + 5 = 0, où m est un nombre réel.
a) Détermine la valeur de m pour laquelle d et d′ sont perpendiculaires.
b) Détermine la valeur de m pour laquelle d et d′ sont parallèles.
c) Pour m = 1, détermine les coordonnées du point d'intersection de d et d′.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
Le cercle C a pour centre Ω(2 ; 3) et pour rayon 5. On considère la droite d : 3x + 4y − 3 = 0.
a) Calcule la distance du centre Ω à la droite d.
b) Déduis-en la position relative de d et de C.
c) Calcule la longueur de la corde interceptée par le cercle sur la droite d.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
On cherche les droites de la forme d : y = 2x + m qui sont tangentes au cercle C : x² + y² = 5.
a) En remplaçant y dans l'équation du cercle, obtiens une équation du second degré en x.
b) Écris la condition de tangence et détermine les valeurs de m.
c) Pour chaque valeur de m, donne les coordonnées du point de tangence.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
On donne les points A(−1 ; 0), B(5 ; 0) et C(1 ; 4).
a) Détermine une équation de la médiatrice de [AB].
b) Détermine une équation de la médiatrice de [AC].
c) Déduis-en le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC, puis donne son équation.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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