Géométrie repérée

a) Distance de Ω(2 ; 3) à la droite 3x + 4y − 3 = 0 :
distance = $\frac{|3\times 2 + 4\times 3 - 3|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}}$ = $\frac{|6 + 12 - 3|}{5}$ = $\frac{15}{5}$ = 3.

b) On compare la distance (3) au rayon (5). Comme 3 < 5, la droite est sécante au cercle.

c) On note h la distance du centre à la droite (h = 3) et r le rayon (r = 5). La demi-corde forme, avec h et r, un triangle rectangle : (demi-corde)² + h² = r².
Donc demi-corde = √(r² − h²) = √(25 − 9) = √16 = 4.
La corde entière vaut 2×4 = 8.
La longueur de la corde interceptée est donc 8.

a) On remplace y par $2x + m$ dans $x^{2} + y^{2} = 5$.
$x^{2} + (2x + m)^{2} = 5 \to x^{2} + 4x^{2} + 4mx + m^{2} = 5 \to 5x^{2} + 4mx + m^{2} - 5 = 0$.

b) La droite est tangente au cercle lorsque cette équation a une solution unique, c'est-à-dire lorsque le discriminant est nul.
$\Delta = (4m)^{2} - 4\times 5\times (m^{2} - 5) = 16m^{2} - 20m^{2} + 100 = -4m^{2} + 100$.
$\Delta = 0 \to -4m^{2} + 100 = 0 \to m^{2} = 25 \to m = 5$ ou $m = -5$.

c) Pour $m = 5$ : $5x^{2} + 20x + 20 = 0 \to x^{2} + 4x + 4 = 0 \to (x + 2)^{2} = 0 \to x = -2$, puis $y = 2\times (-2) + 5 = 1$. Point de tangence $(-2 \,;\, 1)$.
Pour $m = -5$ : $5x^{2} - 20x + 20 = 0 \to x^{2} - 4x + 4 = 0 \to (x - 2)^{2} = 0 \to x = 2$, puis $y = 2\times 2 - 5 = -1$. Point de tangence $(2 \,;\, -1)$.
Pour en être sûr : $(-2)^{2} + 1^{2} = 5$ et $2^{2} + (-1)^{2} = 5$. Les deux points sont bien sur le cercle.