Géométrie repérée

🟢 Facile

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1
Donne un vecteur directeur de la droite d'équation $3x + 4y - 1 = 0$ .
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Pour une droite $ax + by + c = 0$ , un vecteur directeur est $\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ .
Ici $a = 3$ et $b = 4$ , donc $\vec{u}\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ .
Vérification : le vecteur normal est $\vec{n}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\vec{n}\cdot \vec{u} = 3\times (-4) + 4\times 3 = -12 + 12 = 0$ . Le vecteur directeur est bien orthogonal au vecteur normal, comme attendu.
2
Écris l'équation du cercle de centre $O(0 \,;\, 0)$ passant par le point $P(3 \,;\, 4)$ .
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Le rayon est la distance du centre O au point P.
$OP = \sqrt{(3 - 0)^{2} + (4 - 0)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .
Le cercle de centre $O(0 \,;\, 0)$ et de rayon 5 a pour équation $(x - 0)^{2} + (y - 0)^{2} = 5^{2}$ , soit $x^{2} + y^{2} = 25$ .
Vérifions : pour $P(3 \,;\, 4)$ , $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ . Le point P est bien sur le cercle.
3
On donne la droite d d'équation $7x - 2y + 4 = 0$ . Donne un vecteur normal de d, puis un vecteur directeur.
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4
Écris l'équation du cercle de centre Ω $(4 \,;\, -2)$ et de rayon 3.
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5
Détermine le coefficient directeur et l'équation réduite de la droite $5x - 2y + 3 = 0$ .
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6
Détermine une équation cartésienne de la droite passant par $A(3 \,;\, 2)$ et de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$ .
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7
Le point $A(2 \,;\, 1)$ appartient-il à la droite d'équation $3x - y - 5 = 0$ ?
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8
Les droites d : $4x + 3y - 2 = 0$ et d′ : $3x - 4y + 7 = 0$ sont-elles perpendiculaires ? Justifie.
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9
Les droites d : $2x - 6y + 1 = 0$ et d′ : $x - 3y + 5 = 0$ sont-elles parallèles ? Justifie.
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10
Donne le centre et le rayon du cercle d'équation $(x - 1)^{2} + (y + 7)^{2} = 36$ .
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