Probabilités conditionnelles et indépendance

🟠 Difficile

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1
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Soit A « la carte est un cœur » et B « la carte est un roi ».
a) Calcule $P(A)$ , $P(B)$ et $P(A \cap B)$ .
b) Les événements A et B sont-ils indépendants ?
Voir le corrigéoffert
a) $P(A) = \frac{8}{32} = 0{,}25$ .
$P(B) = \frac{4}{32} = 0{,}125$ .
Il y a un seul roi de cœur : $P(A \cap B) = \frac{1}{32} = 0{,}03125$ .

b) $P(A) \times P(B) = 0{,}25 \times 0{,}125 = 0{,}03125$ .
C'est exactement $P(A \cap B)$ : les événements sont indépendants.
En effet, connaître la couleur ne renseigne pas sur la valeur de la carte.
2
A et B sont deux événements indépendants avec $P(A) = 0{,}3$ et $P(B) = 0{,}5$ .
a) Calcule $P(A \cap B)$ puis $P(A \cup B)$ .
b) Calcule $P_A(B)$ et $P_A(\overline{B})$ .
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a) L'indépendance donne $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0{,}15$ .
$P(A \cup B) = 0{,}3 + 0{,}5 - 0{,}15 = 0{,}65$ .

b) $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0{,}15}{0{,}3} = 0{,}5 = P(B)$ .
C'est bien la caractéristique de l'indépendance : savoir que A est réalisé ne change rien.
$P_A(\overline{B}) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$ .
Une probabilité conditionnelle et son contraire ont toujours pour somme 1.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
A et B sont deux événements tels que $P(A) = 0{,}4$ , $P(B) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) = 0{,}25$ .
a) Calcule $P_A(B)$ et $P_B(A)$ .
b) A et B sont-ils indépendants ?
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4
Une urne contient 3 boules blanches et 7 boules vertes. On tire deux boules sans remise.
a) Calcule la probabilité d'obtenir exactement une blanche.
b) Sachant que la première est verte, quelle est la probabilité que la seconde soit blanche ?
Je suis les branches !
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5
Une usine a deux chaînes : A produit 70 % des pièces, B le reste. 2 % des pièces de A sont défectueuses, contre 6 % pour B.
a) Calcule la probabilité qu'une pièce soit défectueuse.
b) Une pièce est défectueuse : quelle est la probabilité qu'elle vienne de B ?
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6
Une urne contient 6 boules rouges et 4 noires. On tire successivement deux boules, sans remise.
a) Calcule la probabilité de tirer deux rouges.
b) Calcule la probabilité que la seconde soit rouge.
Chaque chemin compte !
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7
Dans une ville, 45 % des habitants ont moins de 40 ans. Parmi eux, 70 % utilisent les transports en commun, contre 30 % chez les 40 ans et plus.
a) Calcule la probabilité qu'un habitant utilise les transports en commun.
b) Un usager des transports est choisi : quelle est la probabilité qu'il ait moins de 40 ans ?
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8
Un test de dépistage est positif chez 98 % des malades et chez 3 % des personnes saines. La maladie touche 2 % de la population.
a) Calcule la probabilité qu'une personne testée soit positive.
b) Une personne est positive : quelle est la probabilité qu'elle soit malade ?
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9
Dans un lycée, 60 % des élèves sont en voie générale (G) et 40 % en voie technologique (T). 25 % des G sont internes, contre 45 % des T.
a) Calcule la probabilité qu'un élève pris au hasard soit interne.
b) Un élève interne est choisi : quelle est la probabilité qu'il soit en voie générale ?
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10
Dans une entreprise de 250 salariés : 100 sont en télétravail, dont 60 cadres. L'entreprise compte 90 cadres au total.
a) Complète le tableau croisé.
b) Calcule $P_C(T)$ et $P_T(C)$ , et compare-les.
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