Probabilités conditionnelles et indépendance

🟠 Difficile

📝 Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres corrigés détaillés sont réservés aux abonnés.

S'abonner ✨

1
Une urne contient 6 boules rouges et 4 noires. On tire successivement deux boules, sans remise.
a) Calcule la probabilité de tirer deux rouges.
b) Calcule la probabilité que la seconde soit rouge.
✅ Voir le corrigéoffert
a) Premier tirage : $P(R_1) = \frac{6}{10} = 0{,}6$ .
Second tirage sachant que la première est rouge : il reste 9 boules dont 5 rouges.
$P_{R_1}(R_2) = \frac{5}{9}$ .
Donc $P(R_1 \cap R_2) = 0{,}6 \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$ .

b) Deux chemins mènent à « seconde rouge » : RR et NR.
$P(N_1 \cap R_2) = \frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{24}{90}$ .
$P(R_2) = \frac{30}{90} + \frac{24}{90} = \frac{54}{90} = 0{,}6$ .
C'est la même valeur que $P(R_1)$ : sans information sur le premier tirage, rien ne change.
2
Dans un lycée, 60 % des élèves sont en voie générale (G) et 40 % en voie technologique (T). 25 % des G sont internes, contre 45 % des T.
a) Calcule la probabilité qu'un élève pris au hasard soit interne.
b) Un élève interne est choisi : quelle est la probabilité qu'il soit en voie générale ?
✅ Voir le corrigéoffert
a) On suit les deux chemins de l'arbre.
Chemin G puis interne : $0{,}60 \times 0{,}25 = 0{,}15$ .
Chemin T puis interne : $0{,}40 \times 0{,}45 = 0{,}18$ .
Les deux chemins sont incompatibles : $P(I) = 0{,}15 + 0{,}18 = 0{,}33$ .

b) On applique la définition : $P_I(G) = \frac{P(G \cap I)}{P(I)}$ .
$P_I(G) = \frac{0{,}15}{0{,}33} \approx 0{,}455$ .
Moins d'un interne sur deux est en voie générale, alors que 60 % des élèves le sont.
Les internes sont donc surreprésentés en voie technologique.
3
A et B sont deux événements indépendants avec $P(A) = 0{,}3$ et $P(B) = 0{,}5$ .
a) Calcule $P(A \cap B)$ puis $P(A \cup B)$ .
b) Calcule $P_A(B)$ et $P_A(\overline{B})$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
4
Dans une entreprise de 250 salariés : 100 sont en télétravail, dont 60 cadres. L'entreprise compte 90 cadres au total.
a) Complète le tableau croisé.
b) Calcule $P_C(T)$ et $P_T(C)$ , et compare-les.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
5
Un test de dépistage est positif chez 98 % des malades et chez 3 % des personnes saines. La maladie touche 2 % de la population.
a) Calcule la probabilité qu'une personne testée soit positive.
b) Une personne est positive : quelle est la probabilité qu'elle soit malade ?
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
6
Une usine a deux chaînes : A produit 70 % des pièces, B le reste. 2 % des pièces de A sont défectueuses, contre 6 % pour B.
a) Calcule la probabilité qu'une pièce soit défectueuse.
b) Une pièce est défectueuse : quelle est la probabilité qu'elle vienne de B ?
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
7
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Soit A « la carte est un cœur » et B « la carte est un roi ».
a) Calcule $P(A)$ , $P(B)$ et $P(A \cap B)$ .
b) Les événements A et B sont-ils indépendants ?
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
8
Dans une ville, 45 % des habitants ont moins de 40 ans. Parmi eux, 70 % utilisent les transports en commun, contre 30 % chez les 40 ans et plus.
a) Calcule la probabilité qu'un habitant utilise les transports en commun.
b) Un usager des transports est choisi : quelle est la probabilité qu'il ait moins de 40 ans ?
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
9
A et B sont deux événements tels que $P(A) = 0{,}4$ , $P(B) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) = 0{,}25$ .
a) Calcule $P_A(B)$ et $P_B(A)$ .
b) A et B sont-ils indépendants ?
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
10
Une urne contient 3 boules blanches et 7 boules vertes. On tire deux boules sans remise.
a) Calcule la probabilité d'obtenir exactement une blanche.
b) Sachant que la première est verte, quelle est la probabilité que la seconde soit blanche ?
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →

Comment ça s'est passé ?

Retrouve tout dans Mon suivi.

🎯 Et maintenant ?

Niveau ExpertContinue à t'entraîner

Ou au choix

Revoir le coursLa fiche de leçon Fiche interactiveL'atelier à faire en ligne Examen du chapitreTeste-toi, noté /20 Annales du BacSujets d'examen corrigés Chapitre suivant : Variables aléatoires réellesOn continue le programme

← Changer de niveau