Probabilités conditionnelles et indépendance

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1
On considère deux événements A et B tels que $P(A) = 0{,}4$ , $P_A(B) = 0{,}3$ et $P(B) = 0{,}46$ .
Calcule $P_B(A)$ , et dis pourquoi elle diffère de $P_A(B)$ .
Je suis les branches !
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a) Formule du produit : $P(A\cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12$ .
b) Probabilités totales : $P(B) = P(A\cap B) + P(\overline{A}\cap B)$ , avec $P(\overline{A}\cap B) = P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$ .
$P(\overline{A}) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$ . On pose $x = P_{\overline{A}}(B)$ : $0{,}46 = 0{,}12 + 0{,}6x$ .
Donc $0{,}6x = 0{,}34$ , puis $x = \frac{0{,}34}{0{,}6} = \frac{34}{60} = \frac{17}{30} \approx 0{,}567$ .
c) $P_B(A) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}12}{0{,}46} = \frac{12}{46} = \frac{6}{23} \approx 0{,}261$ .
Comparaison : $P_A(B) = 0{,}3$ et $P_B(A) \approx 0{,}261$ . Ces deux probabilités conditionnelles sont différentes : on ne doit jamais les confondre.
2
Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On tire successivement trois boules, sans remise.
Sachant que les deux premières boules tirées sont noires, calcule la probabilité que la troisième soit blanche.
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Il y a au départ 10 boules : 4 blanches, 6 noires. À chaque tirage sans remise, le total et la composition changent.
a) 1re noire : $\frac{6}{10}$ . 2e noire (reste 9 boules, 5 noires) : $\frac{5}{9}$ . 3e noire (reste 8 boules, 4 noires) : $\frac{4}{8}$ .
Produit : $\frac{6}{10} \times \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}$ .
b) 1re blanche : $\frac{4}{10}$ . 2e noire (reste 9, 6 noires) : $\frac{6}{9}$ . 3e noire (reste 8, 5 noires) : $\frac{5}{8}$ .
Produit : $\frac{4}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}$ .
c) On se place sachant que les deux premières sont noires : on a retiré 2 noires, il reste 8 boules dont 4 blanches et 4 noires.
$P(3e \text{blanche sachant} 2 \text{premières noires}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ .
Interprétation : une fois les deux noires enlevées, il reste autant de blanches que de noires, d'où une chance sur deux.
3
On lance deux dés équilibrés à six faces. On note A : « la somme des deux dés est supérieure ou égale à 9 » et B : « les deux dés affichent le même nombre » (un double).
Les événements A et B sont-ils indépendants ?
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4
Dans un club de sport, 70 % des membres pratiquent la natation (N) et 30 % ne la pratiquent pas. Parmi les nageurs, 40 % font aussi du vélo ; parmi les non-nageurs, 60 % font du vélo. On note V l'événement « faire du vélo ».
Les événements N et V sont-ils indépendants ? Justifie.
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5
On dispose de deux urnes. L'urne U1 contient 3 boules rouges et 2 vertes ; l'urne U2 contient 1 boule rouge et 4 vertes. On lance un dé équilibré : si le résultat est un multiple de 3 (3 ou 6), on tire une boule dans U1, sinon on tire dans U2.
Sachant que la boule tirée est rouge, calcule la probabilité qu'elle provienne de U1.
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6
A et B sont deux événements d'un même univers.
Calcule $P(A\cup B)$ .
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7
Un composant électronique fonctionne (à un instant donné) avec une probabilité de 0,9, indépendamment des autres composants.
Un montage mixte est formé d'un bloc de 2 composants en parallèle, monté en série avec un 3ᵉ composant. Calcule la probabilité qu'il fonctionne.
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8
Un test de dépistage concerne une maladie présente chez 0,5 % de la population. Quand une personne est malade, le test est positif dans 98 % des cas. Quand une personne est saine, le test est négatif dans 96 % des cas.
Si la maladie touchait 10 % de la population, quelle serait la probabilité qu'une personne testée positive soit réellement malade ?
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9
Les candidats d'un examen viennent de trois lycées : le lycée A fournit 40 % des candidats, le lycée B 35 % et le lycée C 25 %. Les taux de réussite sont de 80 % pour A, 70 % pour B et 90 % pour C.
Un candidat a échoué. Calcule la probabilité qu'il vienne du lycée A.
Chaque chemin compte !
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10
Une usine produit des pièces avec trois machines. La machine M1 fabrique 50 % des pièces, M2 en fabrique 30 % et M3 en fabrique 20 %. Le taux de pièces défectueuses est de 2 % pour M1, 3 % pour M2 et 5 % pour M3.
Vérifie que les trois probabilités obtenues en b) ont pour somme 1, et explique pourquoi.
Chaque chemin compte !
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