Probabilités conditionnelles et indépendance
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Un test de dépistage concerne une maladie présente chez 0,5 % de la population. Quand une personne est malade, le test est positif dans 98 % des cas. Quand une personne est saine, le test est négatif dans 96 % des cas.
a) Construis mentalement l'arbre et calcule la probabilité qu'un test pris au hasard soit positif.
b) Une personne est testée positive. Calcule la probabilité qu'elle soit réellement malade.
c) Explique pourquoi ce résultat reste faible bien que le test soit performant.
d) Reprends la question b) si la maladie touche cette fois 10 % de la population.✅ Voir le corrigéoffert
Notons M « malade » et + « positif ». Données : P(M) = 0,005 ; P(M̄) = 0,995 ; (+) = 0,98 ; comme le test est négatif à 96 % chez les sains, ̄(+) = 1 − 0,96 = 0,04.
a) Probabilités totales : P(+) = 0,005 × 0,98 + 0,995 × 0,04.
Chemin malade : 0,005 × 0,98 = 0,0049. Chemin sain : 0,995 × 0,04 = 0,0398.
P(+) = 0,0049 + 0,0398 = 0,0447.
b) P_+(M) = = ≈ 0,110, soit environ 11 %.
c) La maladie est très rare (0,5 %). Les vrais positifs (0,0049) sont donc peu nombreux, tandis que les 4 % de faux positifs, appliqués à l'énorme population saine (99,5 %), produisent beaucoup de positifs (0,0398). Les positifs « à tort » écrasent les positifs « à raison ».
d) Avec P(M) = 0,10 : P(+) = 0,10 × 0,98 + 0,90 × 0,04 = 0,098 + 0,036 = 0,134.
P_+(M) = = ≈ 0,731, soit environ 73 %.
Quand la maladie est plus fréquente, un test positif devient beaucoup plus fiable : la prévalence change tout. - 2
Une usine produit des pièces avec trois machines. La machine M1 fabrique 50 % des pièces, M2 en fabrique 30 % et M3 en fabrique 20 %. Le taux de pièces défectueuses est de 2 % pour M1, 3 % pour M2 et 5 % pour M3.
a) Calcule la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse.
b) Une pièce est défectueuse. Calcule la probabilité qu'elle provienne de chacune des trois machines.
c) Vérifie la cohérence de tes trois résultats de la question b).✅ Voir le corrigéoffert
Notons D « défectueuse ». M1, M2, M3 forment une partition de la production.
a) Probabilités totales : P(D) = 0,50 × 0,02 + 0,30 × 0,03 + 0,20 × 0,05.
Détail : 0,50 × 0,02 = 0,010 ; 0,30 × 0,03 = 0,009 ; 0,20 × 0,05 = 0,010.
P(D) = 0,010 + 0,009 + 0,010 = 0,029.
b) On calcule chaque probabilité « à rebours » (Mi) = .
(M1) = = ≈ 0,345.
(M2) = = ≈ 0,310.
(M3) = = ≈ 0,345.
c) La somme doit valoir 1, car une pièce défectueuse vient forcément de l'une des trois machines :
+ + = = 1. La cohérence est vérifiée.
Remarque : bien que M3 ne fabrique que 20 % des pièces, elle est aussi « responsable » des défauts que M1 (10/29 chacune), car son taux de défaut est bien plus élevé. - 3
On dispose de deux urnes. L'urne U1 contient 3 boules rouges et 2 vertes ; l'urne U2 contient 1 boule rouge et 4 vertes. On lance un dé équilibré : si le résultat est un multiple de 3 (3 ou 6), on tire une boule dans U1, sinon on tire dans U2.
a) Calcule la probabilité de choisir l'urne U1, puis celle de choisir U2.
b) Calcule la probabilité de tirer une boule rouge.
c) Sachant que la boule tirée est rouge, calcule la probabilité qu'elle provienne de U1.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
A et B sont deux événements d'un même univers.
a) Démontre que si A et B sont indépendants, alors A et B̄ sont aussi indépendants.
b) On suppose maintenant P(A) = 0,6 et P(B) = 0,3 avec A et B indépendants. Calcule P(Ā∩B̄).
c) Déduis-en P(A∪B).🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
Un composant électronique fonctionne (à un instant donné) avec une probabilité de 0,9, indépendamment des autres composants.
a) Un montage « en série » utilise 3 composants et ne fonctionne que si les trois fonctionnent. Calcule la probabilité qu'il fonctionne.
b) Un montage « en parallèle » utilise 3 composants et fonctionne dès qu'au moins un fonctionne. Calcule la probabilité qu'il fonctionne.
c) Un montage mixte est formé d'un bloc de 2 composants en parallèle, monté en série avec un 3ᵉ composant. Calcule la probabilité qu'il fonctionne.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
Dans un club de sport, 70 % des membres pratiquent la natation (N) et 30 % ne la pratiquent pas. Parmi les nageurs, 40 % font aussi du vélo ; parmi les non-nageurs, 60 % font du vélo. On note V l'événement « faire du vélo ».
a) Calcule la probabilité qu'un membre fasse du vélo.
b) Un membre fait du vélo. Calcule la probabilité qu'il soit nageur.
c) Les événements N et V sont-ils indépendants ? Justifie.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
On considère deux événements A et B tels que P(A) = 0,4, (B) = 0,3 et P(B) = 0,46.
a) Calcule P(A∩B).
b) Détermine P_Ā(B).
c) Calcule (A) et compare-la à (B).🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
On lance deux dés équilibrés à six faces. On note A : « la somme des deux dés est supérieure ou égale à 9 » et B : « les deux dés affichent le même nombre » (un double).
a) Calcule P(A) et P(B).
b) Calcule P(A∩B) puis (B).
c) Les événements A et B sont-ils indépendants ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On tire successivement trois boules, sans remise.
a) Calcule la probabilité que les trois boules tirées soient noires.
b) Calcule la probabilité que la 1re boule soit blanche et les deux suivantes noires.
c) Sachant que les deux premières boules tirées sont noires, calcule la probabilité que la troisième soit blanche.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
Les candidats d'un examen viennent de trois lycées : le lycée A fournit 40 % des candidats, le lycée B 35 % et le lycée C 25 %. Les taux de réussite sont de 80 % pour A, 70 % pour B et 90 % pour C.
a) Calcule la probabilité qu'un candidat pris au hasard réussisse l'examen.
b) Un candidat a réussi. Calcule la probabilité qu'il vienne du lycée C.
c) Un candidat a échoué. Calcule la probabilité qu'il vienne du lycée A.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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