Probabilités conditionnelles et indépendance

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1
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules noires. On tire successivement deux boules, sans remettre la première. Calcule la probabilité de tirer deux boules rouges.
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Notons R1 : « la 1re boule est rouge » et R2 : « la 2e boule est rouge ». On cherche P(R1∩R2).
Au 1er tirage, il y a 8 boules dont 5 rouges : P(R1) = $\frac{5}{8}$ .
Si la 1re est rouge, il reste 7 boules dont 4 rouges (une rouge a été retirée) : $P_{R1}$ (R2) = $\frac{4}{7}$ .
Formule du produit : P(R1∩R2) = P(R1) × $P_{R1}$ (R2) = $\frac{5}{8}$ × $\frac{4}{7}$ .
On multiplie : $\frac{5\times 4}{8\times 7}$ = $\frac{20}{56}$ .
On simplifie par 4 : $\frac{20}{56}$ = $\frac{5}{14}$ ≈ 0,357.
Donc la probabilité de tirer deux rouges est $\frac{5}{14}$ .
2
Dans un lycée, 55 % des élèves sont en voie générale (G) et 45 % en voie technologique (T). Parmi les élèves de voie générale, 20 % sont internes ; parmi ceux de voie technologique, 40 % sont internes. Quelle est la probabilité qu'un élève pris au hasard soit interne ?
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On note I l'événement « être interne ». G et T forment une partition (chaque élève est dans l'une ou l'autre voie).
Formule des probabilités totales : P(I) = P(G) × $P_{G}$ (I) + P(T) × $P_{T}$ (I).
Chemin par la voie générale : 0,55 × 0,20 = 0,11.
Chemin par la voie technologique : 0,45 × 0,40 = 0,18.
On additionne : P(I) = 0,11 + 0,18 = 0,29.
Donc P(I) = 0,29, soit 29 % d'internes.
3
On reprend le lycée précédent (55 % en voie générale G, 45 % en voie technologique T ; 20 % d'internes chez les G, 40 % chez les T). On choisit un élève interne au hasard. Quelle est la probabilité qu'il soit en voie générale ?
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4
A et B sont deux événements indépendants tels que P(A) = 0,25 et P(B) = 0,4. Calcule P(A∪B).
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5
A et B sont deux événements indépendants avec P(A) = 0,3 et P(B) = 0,45. Calcule $P_{A}$ (B) puis $P_{A}$ (B̄).
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6
Dans une entreprise de 200 salariés, on relève :
Télétravail : 90 salariés, dont 54 cadres.
Pas de télétravail : 110 salariés, dont 44 cadres.
a) Un salarié fait du télétravail : quelle est la probabilité qu'il soit cadre ?
b) Un salarié est cadre : quelle est la probabilité qu'il fasse du télétravail ?
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7
Une maladie touche 1 % de la population. Un test donne un résultat positif dans 90 % des cas quand la personne est malade, et dans 5 % des cas quand elle est saine (faux positif). On choisit une personne au hasard qui est testée positive. Quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ?
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8
Sur un arbre, on sait que P(A) = 0,4, $P_{A}$ (B) = 0,7 et que P(B) = 0,5. Calcule P_Ā(B).
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9
On lance deux dés équilibrés à six faces. On considère A : « le premier dé donne un nombre pair » et B : « la somme des deux dés est égale à 7 ». Les événements A et B sont-ils indépendants ?
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10
Un archer atteint la cible avec une probabilité de 0,8 à chaque tir, et les tirs sont indépendants les uns des autres. Il effectue 3 tirs. Quelle est la probabilité qu'il atteigne la cible au moins une fois ?
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