Probabilités conditionnelles et indépendance

🟡 Moyen

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1
A et B sont deux événements indépendants avec $P(A) = 0{,}3$ et $P(B) = 0{,}45$ . Calcule $P_A(B)$ puis $P_A(\overline{B})$ .
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Quand A et B sont indépendants (et $P(A) \ne 0$ ), savoir que A est réalisé ne change rien à B : $P_A(B) = P(B)$ .
Donc $P_A(B) = 0{,}45$ .
Pour le contraire, les branches issues d'un même nœud font 1 : $P_A(\overline{B}) = 1 - P_A(B) = 1 - 0{,}45 = 0{,}55$ .
Donc $P_A(B) = 0{,}45$ et $P_A(\overline{B}) = 0{,}55$ .
2
A et B sont deux événements indépendants tels que $P(A) = 0{,}25$ et $P(B) = 0{,}4$ . Calcule $P(A\cup B)$ .
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On utilise la formule d'union : $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ .
Comme A et B sont indépendants, $P(A\cap B) = P(A) \times P(B) = 0{,}25 \times 0{,}4 = 0{,}1$ .
On remplace : $P(A\cup B) = 0{,}25 + 0{,}4 - 0{,}1$ .
On calcule : $0{,}25 + 0{,}4 = 0{,}65$ , puis $0{,}65 - 0{,}1 = 0{,}55$ .
Donc $P(A\cup B) = 0{,}55$ .
3
On lance deux dés équilibrés à six faces. On considère A : « le premier dé donne un nombre pair » et B : « la somme des deux dés est égale à 7 ». Les événements A et B sont-ils indépendants ?
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4
Un archer atteint la cible avec une probabilité de 0,8 à chaque tir, et les tirs sont indépendants les uns des autres. Il effectue 3 tirs. Quelle est la probabilité qu'il atteigne la cible au moins une fois ?
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5
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules noires. On tire successivement deux boules, sans remettre la première. Calcule la probabilité de tirer deux boules rouges.
Chaque chemin compte !
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6
Dans un lycée, 55 % des élèves sont en voie générale (G) et 45 % en voie technologique (T). Parmi les élèves de voie générale, 20 % sont internes ; parmi ceux de voie technologique, 40 % sont internes. Quelle est la probabilité qu'un élève pris au hasard soit interne ?
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7
On reprend le lycée précédent (55 % en voie générale G, 45 % en voie technologique T ; 20 % d'internes chez les G, 40 % chez les T). On choisit un élève interne au hasard. Quelle est la probabilité qu'il soit en voie générale ?
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8
Sur un arbre, on sait que $P(A) = 0{,}4$ , $P_A(B) = 0{,}7$ et que $P(B) = 0{,}5$ . Calcule P_Ā(B).
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9
Dans une entreprise de 200 salariés, on relève :
Télétravail : 90 salariés, dont 54 cadres.
Pas de télétravail : 110 salariés, dont 44 cadres.
a) Un salarié fait du télétravail : quelle est la probabilité qu'il soit cadre ?
b) Un salarié est cadre : quelle est la probabilité qu'il fasse du télétravail ?
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10
Une maladie touche 1 % de la population. Un test donne un résultat positif dans 90 % des cas quand la personne est malade, et dans 5 % des cas quand elle est saine (faux positif). On choisit une personne au hasard qui est testée positive. Quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ?
Je suis les branches !
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