Le produit scalaire

🟠 Difficile

📝 Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres corrigés détaillés sont réservés aux abonnés.

S'abonner ✨

1
Dans un repère orthonormé, on donne $A(1 \,;\, 2)$ , $B(4 \,;\, 3)$ et $C(2 \,;\, 5)$ .
a) Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ .
b) Le triangle ABC est-il rectangle en A ? Justifie.
✅ Voir le corrigéoffert
a) $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ .
Le produit scalaire en repère orthonormé : $xx' + yy'$ .
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times 1 + 1 \times 3 = 6$ .

b) Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Ici il vaut 6, pas 0 : les vecteurs ne sont pas orthogonaux.
Le triangle ABC n'est donc pas rectangle en A.
2
On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ , puis $\Vert \vec{u}\Vert$ et $\Vert \vec{v}\Vert$ .
b) Que peut-on dire de la direction de ces deux vecteurs ?
✅ Voir le corrigéoffert
a) $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 6 + (-3) \times 4 = 12 - 12 = 0$ .
$\Vert \vec{u}\Vert = \sqrt{2^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{13}$ .
$\Vert \vec{v}\Vert = \sqrt{6^{2} + 4^{2}} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ .

b) Le produit scalaire est nul et aucun des deux vecteurs n'est nul.
Donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux : leurs directions sont perpendiculaires.
3
Dans un triangle ABC, on donne $AB = 6$ , $AC = 8$ et $\widehat{A} = 45^{\circ}$ .
a) Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ , en valeur exacte.
b) Calcule la longueur BC, arrondie au dixième.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
4
On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} k \\ 6 \end{pmatrix}$ , où $k$ est un réel.
a) Détermine $k$ pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient orthogonaux.
b) Détermine $k$ pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
5
On sait que $\Vert \vec{u}\Vert = 5$ , $\Vert \vec{v}\Vert = 3$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = -6$ .
a) Calcule $\Vert \vec{u} + \vec{v}\Vert$ , en valeur exacte.
b) Calcule une mesure de l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , arrondie au degré.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
6
Dans un repère orthonormé, on donne $A(-1 \,;\, 1)$ , $B(3 \,;\, 3)$ et $C(1 \,;\, -3)$ .
a) Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ .
b) Le triangle ABC est-il rectangle en A ? Si oui, calcule son aire.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
7
ABCD est un carré de côté 4. On note I le milieu de [BC].
a) Exprime $\overrightarrow{AI}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ .
b) Calcule $\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AC}$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
8
On donne $A(0 \,;\, 0)$ , $B(6 \,;\, 2)$ et $C(1 \,;\, 5)$ dans un repère orthonormé.
a) Calcule une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ , arrondie au dixième de degré.
b) Le triangle est-il acutangle (tous ses angles aigus) en A ? Justifie à partir du signe du produit scalaire.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
9
Dans un repère orthonormé, on donne $A(-1 \,;\, 3)$ , $B(5 \,;\, 1)$ et $C(2 \,;\, 9)$ .
a) Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ .
b) Le triangle ABC est-il rectangle en A ?
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
10
On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ et les deux normes.
b) Que peut-on dire de ces deux vecteurs ?
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →

Comment ça s'est passé ?

Retrouve tout dans Mon suivi.

🎯 Et maintenant ?

Niveau ExpertContinue à t'entraîner

Ou au choix

Revoir le coursLa fiche de leçon Fiche interactiveL'atelier à faire en ligne Examen du chapitreTeste-toi, noté /20 Annales du BacSujets d'examen corrigés Chapitre suivant : Géométrie repéréeOn continue le programme

← Changer de niveau