Le produit scalaire

🟠 Difficile

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1
On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ et les deux normes.
b) Que peut-on dire de ces deux vecteurs ?
Voir le corrigéoffert
a) $\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times (-3) + 3 \times 4 = -12 + 12 = 0$ .
$\Vert\vec{u}\Vert = \sqrt{16 + 9} = 5$ et $\Vert\vec{v}\Vert = \sqrt{9 + 16} = 5$ .

b) Le produit scalaire est nul : les deux vecteurs sont orthogonaux.
Ils ont de plus la même norme, 5.
Ils forment donc les côtés d'un carré : $\vec{v}$ est l'image de $\vec{u}$ par un quart de tour.
2
Dans un repère orthonormé, on donne $A(-1 \,;\, 1)$ , $B(3 \,;\, 3)$ et $C(1 \,;\, -3)$ .
a) Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ .
b) Le triangle ABC est-il rectangle en A ? Si oui, calcule son aire.
Voir le corrigéoffert
a) $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$ .
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 2 + 2 \times (-4) = 8 - 8 = 0$ .

b) Le produit scalaire est nul : les deux vecteurs sont orthogonaux, donc le triangle est rectangle en A.
Les côtés de l'angle droit : $AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$ et $AC = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$ .
Aire $= \frac{AB \times AC}{2} = \frac{\sqrt{20} \times \sqrt{20}}{2} = \frac{20}{2} = 10$ .
L'aire vaut 10 unités d'aire (le triangle est rectangle isocèle).
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Dans un triangle ABC, on donne $AB = 6$ , $AC = 8$ et $\widehat{A} = 45^{\circ}$ .
a) Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ , en valeur exacte.
b) Calcule la longueur BC, arrondie au dixième.
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4
On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ , puis $\Vert \vec{u}\Vert$ et $\Vert \vec{v}\Vert$ .
b) Que peut-on dire de la direction de ces deux vecteurs ?
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5
Dans un repère orthonormé, on donne $A(-1 \,;\, 3)$ , $B(5 \,;\, 1)$ et $C(2 \,;\, 9)$ .
a) Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ .
b) Le triangle ABC est-il rectangle en A ?
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6
ABCD est un carré de côté 4. On note I le milieu de [BC].
a) Exprime $\overrightarrow{AI}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ .
b) Calcule $\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AC}$ .
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7
Dans un repère orthonormé, on donne $A(1 \,;\, 2)$ , $B(4 \,;\, 3)$ et $C(2 \,;\, 5)$ .
a) Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ .
b) Le triangle ABC est-il rectangle en A ? Justifie.
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8
On sait que $\Vert \vec{u}\Vert = 5$ , $\Vert \vec{v}\Vert = 3$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = -6$ .
a) Calcule $\Vert \vec{u} + \vec{v}\Vert$ , en valeur exacte.
b) Calcule une mesure de l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , arrondie au degré.
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9
On donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} k \\ 6 \end{pmatrix}$ , où $k$ est un réel.
a) Détermine $k$ pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient orthogonaux.
b) Détermine $k$ pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires.
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10
On donne $A(0 \,;\, 0)$ , $B(6 \,;\, 2)$ et $C(1 \,;\, 5)$ dans un repère orthonormé.
a) Calcule une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ , arrondie au dixième de degré.
b) Le triangle est-il acutangle (tous ses angles aigus) en A ? Justifie à partir du signe du produit scalaire.
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