Le produit scalaire

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1
Dans un triangle ABC, on donne $AB = 8$ , $BC = 7$ et $AC = 5$ .
Calcule une mesure de l'angle Ĉ.
Voir le corrigéoffert
On note $a = BC = 7$ , $b = AC = 5$ , $c = AB = 8$ .
a) Al-Kashi : $\cos (\widehat{A}) = \frac{(b^{2} + c^{2} - a^{2})}{(2bc)} = \frac{(25 + 64 - 49)}{(2\times 5\times 8)} = \frac{40}{80} = 0{,}5$ .
Donc $\widehat{A} = \arccos (0{,}5) = 60^{\circ}$ .
b) $\cos (\widehat{B}) = \frac{(a^{2} + c^{2} - b^{2})}{(2ac)} = \frac{(49 + 64 - 25)}{(2\times 7\times 8)} = \frac{88}{112} \approx 0{,}7857$ .
Donc $\widehat{B} \approx 38{,}2^{\circ}$ .
c) La somme des angles d'un triangle vaut $180^{\circ}$ .
$\widehat{C} = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 38{,}2^{\circ} = 81{,}8^{\circ}$ .
Vérification : $60 + 38{,}2 + 81{,}8 = 180$ . Cohérent.
2
On sait que $\Vert \vec{u}\Vert = 2$ , $\Vert \vec{v}\Vert = 3$ et $\vec{u}\cdot \vec{v} = -1$ .
Calcule une mesure de l'angle entre les vecteurs $2\vec{u} - \vec{v}$ et $\vec{u} + 3\vec{v}$ , au dixième de degré.
Voir le corrigéoffert
a) On développe par bilinéarité : $(2\vec{u} - \vec{v})\cdot (\vec{u} + 3\vec{v}) = 2\vec{u}\cdot \vec{u} + 6\vec{u}\cdot \vec{v} - \vec{v}\cdot \vec{u} - 3\vec{v}\cdot \vec{v}$ .
Comme $\vec{u}\cdot \vec{u} = \Vert \vec{u}\Vert ^{2} = 4$ , $\vec{v}\cdot \vec{v} = \Vert \vec{v}\Vert ^{2} = 9$ et $\vec{v}\cdot \vec{u} = \vec{u}\cdot \vec{v} = -1$ :
$= 2\times 4 + 6\times (-1) - (-1) - 3\times 9 = 8 - 6 + 1 - 27 = -24$ .
b) $\Vert 2\vec{u} - \vec{v}\Vert ^{2} = 4\Vert \vec{u}\Vert ^{2} - 4\vec{u}\cdot \vec{v} + \Vert \vec{v}\Vert ^{2} = 4\times 4 - 4\times (-1) + 9 = 16 + 4 + 9 = 29$ .
Donc $\Vert 2\vec{u} - \vec{v}\Vert = \sqrt{29} \approx 5{,}39$ .
c) Il faut aussi $\Vert \vec{u} + 3\vec{v}\Vert ^{2} = \Vert \vec{u}\Vert ^{2} + 6\vec{u}\cdot \vec{v} + 9\Vert \vec{v}\Vert ^{2} = 4 + 6\times (-1) + 9\times 9 = 4 - 6 + 81 = 79$ , donc $\Vert \vec{u} + 3\vec{v}\Vert = \sqrt{79}$ .
$\cos (\text{angle}) = \frac{(2\vec{u} - \vec{v})\cdot (\vec{u} + 3\vec{v})}{(\Vert 2\vec{u} - \vec{v}\Vert \times \Vert \vec{u} + 3\vec{v}\Vert )} = \frac{-24}{(\sqrt{29} \times \sqrt{79})} = \frac{-24}{\sqrt{2291}} \approx -0{,}501$ .
L'angle mesure donc environ $120{,}1^{\circ}$ .
3
On donne les points $A(1 \,;\, 1)$ , $B(5 \,;\, 1)$ et $C(2 \,;\, 4)$ .
Détermine les coordonnées de l'orthocentre H et vérifie que la hauteur issue de C passe bien par H.
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4
On considère les points fixes $A(-2 \,;\, 0)$ et $B(4 \,;\, 0)$ . On cherche l'ensemble des points $M(x \,;\, y)$ tels que $MA^{2} + MB^{2} = 40$ .
Montre que l'ensemble cherché est un cercle, et précise son centre et son rayon.
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5
On place $A(-1 \,;\, 2)$ , $B(3 \,;\, 0)$ et $C(2 \,;\, 5)$ dans un repère orthonormé.
Calcule l'aire du triangle ABC.
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6
Deux sentiers partent d'un même refuge O en formant entre eux un angle de $120^{\circ}$ . Un randonneur parcourt 6 km sur le premier sentier jusqu'à un point A, un autre parcourt 9 km sur le second jusqu'à un point B.
Calcule une mesure de l'angle au sommet B.
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7
On considère les points $A(2 \,;\, 1)$ et $B(6 \,;\, 3)$ .
Décris l'ensemble des points M tels que $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB} = 0$ , et donne son équation.
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8
On place $A(1 \,;\, 2)$ et $B(5 \,;\, -1)$ . On cherche les points C situés sur l'axe des abscisses, de la forme $C(x \,;\, 0)$ , tels que le triangle ACB soit rectangle en C.
Donne les coordonnées exactes puis approchées des points C solutions.
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9
Dans un triangle ABC, on donne $AB = 7$ , $AC = 5$ et $BC = 8$ .
On note M le milieu de [BC]. En utilisant $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ , calcule la longueur AM.
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10
On place $A(-1 \,;\, -1)$ , $B(3 \,;\, 1)$ et $C(0 \,;\, 4)$ dans un repère orthonormé.
Détermine les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle et son rayon.
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